Abelpriset

Få läsare kommer att säga något om namnet Abel. Nej, det här handlar inte om den olyckliga unge mannen som dödades av sin egen bror Kain. Jag syftar på den norske matematikern Niels Henrik Abel (1802–1829) och det efter honom uppkallade priset som just har delats ut (16 mars 2016) av Norska vetenskapsakademien och brev till Sir Andrew J. Wiles. Detta kompenserar matematiker för att ha lämnats utanför av Alfred Nobel i kategorirankingen av världens viktigaste vetenskapspris.

Även om matematiker uppskattar den sk. Fields Medalj (officiellt anses vara den högsta lagraren inom sitt område), den är förknippad med endast 15 tusen. (inte miljoner, tusentals!) av kanadensiska dollar tills vinnaren Abel Awards stoppar en check på 6 miljoner norska kronor (cirka 750 8 euro) i fickan. Nobelpristagare får 865 miljoner kronor, eller cirka XNUMX tusen. euro - mindre än tennisspelare för att ha vunnit en stor turnering. Det finns flera troliga skäl till varför Alfred Nobel inte inkluderade matematiker bland de möjliga pristagarna. Nobels testamente gällde "uppfinningar och upptäckter" som skulle ge den största fördelen för mänskligheten, men förmodligen inte teoretiska, utan praktiska. Matematik ansågs inte vara en vetenskap som kunde ge mänskligheten praktisk nytta.

Varför Abel

Vem var Niels Henrik Abel och hur blev han känd? Han måste ha varit briljant, för trots att han dog i tuberkulos vid endast 27 års ålder hade han en fast plats i matematik. Jo, redan på högstadiet lär de oss att lösa ekvationer; första graden först, sedan kvadratisk och ibland kubisk. Redan för fyra hundra år sedan kunde italienska forskare klara av kvartsekvationäven den som ser oskyldig ut:

och varav ett av elementen

Ja, forskare kunde ha gjort detta redan på XNUMX-talet. Det är inte svårt att gissa att ekvationer av högre grader togs i beaktande. Och ingenting. Ingen har lyckats på tvåhundra år. Niels Abel misslyckades också. Och så insåg han att ... det kanske inte är möjligt alls. Det kan bevisas omöjligheten att lösa en sådan ekvation – eller snarare uttrycka lösningen i enkla aritmetiska formler.

Detta var den första av 2 tusen. år (!) av resonemang av den här typen: något kan inte bevisas, något kan inte göras. Matematik har monopol på sådana bevis – praktiska vetenskaper bryter alltmer barriärer. År 1888 uttalade ordföranden för den amerikanska patentkommissionen att "få uppfinningar kan förväntas i framtiden, eftersom nästan allt redan har uppfunnits." Idag är det svårt för oss att ens skratta åt detta... Men i matematik - när det väl bevisats är det förlorat. Det är omöjligt att göra.

Historien delar den upptäckt jag har beskrivit mellan Niels Abel i Evarist Galois, båda avled före XNUMX års ålder, underskattade av sin samtid. Niels Abel är en av få norska matematiker med stor berömmelse (faktiskt två, den andra är det Sofus Li, 1842-1899 - efternamnen låter inte skandinaviska, men båda var infödda norrmän).

Norrmännen är inte på god fot med svenskarna - tyvärr är detta vanligt bland grannfolken. Ett av motiven för norrmännens inrättande av Abelpriset var viljan att visa sina landsmän Alfred Nobel: snälla, vi är inte sämre.

Jagar obefintlig marginalinträde

Här är Niels Henrik Abel för dig. Nu om pristagaren, en 63-årig engelsman (bosatt i USA). Hans bedrift 1993 kunde bara jämföras med att bestiga Everest, klättra på månen eller något liknande. Vem är sir Andrew Wiles? Om du tittar på listan över hans publikationer och de olika möjliga citeringsindexen kommer han att vara en bra vetenskapsman - det finns tusentals av dem. Han anses dock vara en av de största matematikerna. Hans forskning relaterar till talteori och använder relationer med algebraisk geometri Oraz representationsteori.

Han blev känd för att lösa ett problem som var helt obetydligt ur matematikens synvinkel bevis på Fermats sista sats (den som inte vet vad som händer - påminn dig nedan). Det verkliga värdet var dock inte lösningen i sig, utan skapandet av en ny testmetod som användes för att lösa många andra viktiga problem.

Det är omöjligt att inte vid denna tidpunkt reflektera över vikten av vissa frågor, över hierarkin av mänskliga prestationer. Hundratusentals unga människor drömmer om att sparka boll bättre än andra, tiotusentals vill utsätta sig för Himalayas vindar, hoppa gummi på en bro, göra ljud som de kallar sång, stoppa in ohälsosam mat i andra ... eller lösa ingen onödig ekvation. Den första erövraren av Mount Everest, Sir Edward Hillary, svarade direkt på frågan om varför han gick in där: "För att det finns, eftersom Everest existerar!" Författaren till dessa ord var matematiker hela sitt liv, detta var mitt recept för livet. Den enda rätta! Men låt oss avsluta denna filosofi. Låt oss gå tillbaka till matematikens sunda väg. Varför allt tjafs om Fermats teorem?

Jag antar att vi alla vet vad de är primtal. Säkert förstår alla frasen "nedbrytas till primära faktorer", speciellt när vår son förvandlar klockor till delar.

Pierre de Fermat (1601-1665) var en advokat från Toulouse, men han sysslade också med amatörmatematik och med ganska goda resultat, eftersom han gick ner i matematikens historia som författare till många teorem för talteori och talanalys. Han brukade lägga sina kommentarer och kommentarer i marginalen på de böcker han läste. Och exakt - omkring 1660 skrev han i en av marginalerna:

Här är Pierre de Fermat för dig. Sedan hans tid (och låt mig påminna dig om att den modige Gascon-adelsmannen d'Artagnan bodde i Frankrike vid den tiden, och i Polen kämpade Andrzej Kmitsich med Bohuslav Radziwill), försökte hundratals, och kanske till och med tusentals stora och små matematiker utan framgång rekonstruera en briljant amatörs förlorade resonemang. Även om vi idag är säkra på att Fermats bevis inte kan vara korrekt, var det irriterande att den enkla frågan om ekvation xⁿ + yⁿ = gⁿ, n> 2 har lösningar i naturliga tal? kan vara så svårt.

Många av matematikerna som kom till jobbet den 23 juni 1993 fann i sitt e-postmeddelande (som då var en fräsch, fortfarande varm uppfinning) ett lakoniskt meddelande: "Rykten från Storbritannien: Wiles bevisar Fermat." Dagen efter skrev dagspressen om det, och den sista av Wiles-serien av föreläsningar samlade press, tv och fotojournalister – precis som på en konferens med en känd fotbollsspelare.

Alla som läser "Satan från sjunde klass" av Kornel Makuszyński minns säkert vad Mr. Iwo Gąsowski, bror till historieprofessorn, vars system för att förhöra elever som upptäcktes av Adaś Cisowski, gjorde. Iwo Gąsowski löste bara Fermats ekvation, förlorade tid, egendom och försummade huset:

Till slut förstod Mr. Iwo att räkningarna om makten inte skulle garantera familjens lycka och han gav upp. Makuszyński gillade inte vetenskap, men han hade rätt angående herr Gąsowski. Iwo Gąsowski gjorde ett grundläggande misstag. Han försökte inte bli specialist i ordets goda mening, utan agerade som en amatör. Andrew Wiles är ett proffs.

Historien om kampen mot Fermats sista teorem är intressant. Man kan helt enkelt se att det räcker att lösa dem för exponenter som är primtal. För n = 3 gavs lösningen 1770. Leonard Euler, för n = 5 – Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1828) och Adrien Marie Legendre år 1830, och med n = 7 – Gabriel Lame år 1840. Under XNUMX-talet ägnade den tyske matematikern det mesta av sin energi åt Fermats problem Ernst Eduard Kummer (1810-1893). Även om han inte nådde ultimat framgång, bevisade han många specialfall och upptäckte många viktiga egenskaper hos primtal. Mycket av modern algebra, teoretisk aritmetik och algebraisk talteori har sitt ursprung till Kummers arbete med Fermats teorem.

När man löste Fermats problem med metoder för klassisk talteori, delades de in i två olika fall av komplexitet: det första, när vi antar att produkten xyz är coprime med exponent n, och det andra, när talet z är lika delbart med exponent. I det andra fallet var det känt att det inte fanns några lösningar upp till n = 150 000, och i det första fallet upp till n = 6 000 000 000 (Lehmer, 1981). Detta innebar att ett eventuellt motexempel i alla fall skulle vara omöjligt: ​​det skulle krävas räkningar på miljarder siffror för att få det.

Här är en gammal historia för dig. I början av 1988 var det känt i den matematiska världen att Yoiti Miyaoka bevisade viss olikhet, varav följande följde: om bara exponenten n är tillräckligt stor, så har Fermats ekvation säkert inga lösningar. Jämfört med tyskans något tidigare resultat Gerd Faltings (1983) Miyaokas resultat innebar att om det finns lösningar så finns det (i termer av proportionalitet) bara ett ändligt antal av dem. Således reduceras lösningen av Fermats problem till att lista slutet på många fall. Tyvärr, hur många av dem var inte kända: metoderna som användes av Miyaoka tillät inte en uppskattning av hur många som redan var "ok".

Det är värt att notera här att under många år genomfördes studiet av Fermats sats inte inom ramen för ren talteori, utan inom ramen för algebraisk geometri, en matematisk disciplin som härrör från algebra och en förlängning av kartesisk analytisk geometri, och nu sprider sig nästan överallt: från matematikens grunder (teori topoi i logik), genom matematisk analys (kohomologiska metoder, funktionella skivor), klassisk geometri, till teoretisk fysik (vektorbuntar, twistorrum, solitoner).

När heder inte bryr sig

Det är också svårt att inte vara ledsen över matematikerns öde, vars bidrag till lösningen av Fermats problem är mycket betydelsefullt. Jag pratar om ArakielSuren Yurievich Arakelov, ukrainsk matematiker med armeniska rötter), som i början av 80-talet, när han var på sitt fjärde år, skapade den sk. skärningslära om aritmetiska varieteter. Sådana ytor är fulla av hål och ofullständighet, och kurvorna på dem kan plötsligt försvinna, liksom, och sedan dyka upp igen. Skärningslära förklarar hur man beräknar skärningsgraden för sådana kurvor. Det var det viktigaste verktyget som användes av Faltings och Miyaoka i deras arbete med Fermats problem.

En gång blev Arakelov inbjuden att presentera sina resultat på en stor matematisk kongress. Men eftersom han var kritisk mot det sovjetiska systemet nekades han tillstånd att lämna. Snart togs han in i armén. Han visade trotsigt att han var emot militärtjänst i allmänhet av pacifistiska skäl. Som jag fick veta från ganska tveksamma källor, påstås han ha skickats till ett stängt psykiatriskt sjukhus, där han tillbringade ungefär ett år. Som ni vet, uppenbarligen i politiska syften, pekade sovjetiska psykiatriker ut en speciell typ av schizofreni (på engelska från, som betyder "trög", på ryska trög schizofreni).

Det är svårt att till hundra procent säga hur det egentligen var, eftersom mina informationskällor inte är särskilt tillförlitliga. Tydligen, efter att ha lämnat sjukhuset, tillbringade Arakelov flera månader i ett kloster i Zagorsk. Han bor för närvarande i Moskva med sin fru och tre barn. Han gör inte matte. Andrew Wiles är full av äror och pengar.

Ur ett välnärt europeiskt samhälles synvinkel är steget också obegripligt Grigory Perelman, som 2002 löste det mest kända topologiska problemet under XNUMX-talet,Poinari gissningarOch sedan avvisade han alla möjliga utmärkelser. Först den inledningsvis nämnda Fields-medaljen, som matematiker anser likvärdig med Nobelpriset, och sedan utmärkelsen på en miljon dollar för att lösa ett av de sju viktigaste matematiska problemen som blev över från XNUMX-talet. "Andra var bättre, jag bryr mig inte om utmärkelser, för matematik är min hobby, jag har mat och cigaretter", berättade han mer eller mindre för den häpna världen.

Framgång efter mer än 300 år

Fermats stora teorem var utan tvekan det mest kända och mest effektiva matematiska problemet. Det var öppet i över trehundra år, det var formulerat på ett mycket tydligt och läsbart sätt och det var teoretiskt möjligt att attackera av vem som helst, och i en tidevarv av popularisering av datorer var det relativt lätt att försöka slå ytterligare ett rekord i bedömningen möjliga lösningar. I matematikens historia spelade denna fråga, genom sin inspirerande roll, en mycket viktig "kulturbildande" roll, och bidrog till framväxten av hela matematiska discipliner. Detta är märkligt då själva problemet är relativt trivialt och blotta informationen om bristen på rötter i Fermat-ekvationen bidrog inte mycket till den allmänna skattkammaren av matematisk kunskap.

År 1847 höll Gabriel Lamet (1795-1870) en föreläsning vid den franska vetenskapsakademin och tillkännagav lösningen på Fermats problem. Ett subtilt resonemangsfel märktes dock omedelbart. Den baserades på otillåten användning av den unika nedbrytningssatsen. Vi kommer ihåg från skolan att varje tal har en unik uppdelning i primtalsfaktorer, till exempel 2012 = 2 ∙ 2 ∙ 503. Talet 503 har inga delare (förutom 1 och 503 i sig), så det kan inte utökas ytterligare.

Egenskapen distributionsunicitet innehas av positiva heltal, men bland andra numeriska uppsättningar behöver de inte vara det. Till exempel för teckennummer

mamma 36 = 2²⋅2 XNUMX³ ,men också

Genom att analysera Lames bevis kunde Kummer bevisa giltigheten av Fermats gissningar för några exponenter av talet p. Han kallade dem vanliga primtal. Detta var det första viktiga steget mot ett fullständigt bevis. En myt växte fram kring Fermats teorem. "Eller kanske det är ännu värre - du kanske inte ens kan bevisa att det är möjligt eller omöjligt att lösa?"

Men sedan 80-talet kände alla att målet var nära. Jag minns att Berlinmuren fortfarande stod kvar och jag lyssnade redan på föreläsningar om "snart, om ett ögonblick". Nåväl, någon måste vara först. Andrew Wiles avslutade sin föreläsning med det engelska slemmet "Jag tror att Fermat bevisar det", och det tog lite tid innan den fullsatta publiken insåg vad som hade hänt: ett 330 år gammalt matematiskt problem arbetade intensivt på av hundratals regementsmatematiker. och otaliga amatörer, såsom Ivo Gonsovski från Makuszynskis romaner. Och Andrew Wiles fick äran att skaka hand med Harald V, Norges kung. Kanske uppmärksammade han inte det blygsamma tillägget till Abelpriset, cirka flera hundra tusen euro – varför behöver han så mycket pengar?