Artikel om ingenting

Som barn fascinerades jag av historien, förmodligen känd för många läsare, om "soppa på en spik". Min mormor (XNUMX-talet av födseln) berättade detta för mig i versionen "Kosacken kom och bad om vatten, för han har en spik och han kommer att koka soppa på den." Den nyfikna värdinnan gav honom en kastrull med vatten ... och vi vet vad som hände sedan: "soppan ska vara salt, daitye, mormor, salt", sedan tvättade han köttet "för att förbättra smaken" och så vidare. Till slut slängde han den "kokta" spiken.

Så den här artikeln var tänkt att handla om rymdens tomhet – och det här handlar om landningen av en europeisk apparat på kometen 67P / Churyumov-Gerasimenko den 12 november 2014. Men medan jag skrev, gav jag efter för en långvarig vana, Jag är fortfarande matematiker. Hur är det med Tycka omс Noll matematik?

Hur existerar ingenting?

Det kan inte sägas att ingenting existerar. Det existerar åtminstone som ett filosofiskt, matematiskt, religiöst och perfekt vardagligt begrepp. Noll är ett vanligt tal, noll grader på en termometer är också en temperatur, och ett nollsaldo i en bank är en obehaglig men vanlig företeelse. Observera att det inte finns något nollår i kronologin, och detta beror på att noll introducerades i matematik först under senmedeltiden, senare än den kronologi som föreslagits av munken Dionysius (XNUMXth århundradet).

Konstigt nog skulle vi verkligen klara oss utan denna nolla och därför utan negativa tal. I en av läroböckerna om logik hittade jag en övning: rita eller säg hur du föreställer dig frånvaron av fisk. Underbart, eller hur? Vem som helst kan rita en fisk, men inte en?

Nu kort grundläggande matematikkurs. Att ge existensprivilegiet till den tomma mängden markerad med en överstruken cirkel ∅ är en nödvändig procedur analogt med att lägga till noll till mängden siffror. Den tomma uppsättningen är den enda uppsättningen som inte innehåller några element. Sådana samlingar:

Men det finns inte två olika tomma uppsättningar. Den tomma uppsättningen ingår i varannan uppsättning:

Faktum är att reglerna för matematisk logik säger att mängd A ingår i mängd B om och endast om meningen:

det medför

I fallet med den tomma mängden ∅ är propositionen alltid falsk, och enligt logikens lagar är implikationen i allmänhet sann. Allt härrör från en lögn ("här ska jag odla en kaktus om du flyttar till nästa klass ..."). Så eftersom den tomma uppsättningen finns i var och en av de andra, om de var två olika, skulle var och en av dem finnas i den andra. Men om två uppsättningar finns i varandra är de lika. Det är därför: det finns bara en tom uppsättning!

Postulatet om existensen av en tom uppsättning motsäger inte några matematiska lagar, så varför inte väcka det till liv? Den filosofiska principen kallasOccams rakkniv» En order om att utesluta onödiga begrepp, men helt rätt konceptet med en tom uppsättning är mycket användbart i matematik. Observera att den tomma mängden har en dimension på -1 (minus en) - nolldimensionella element är punkter och deras glesa system, endimensionella element är linjer, och vi pratade om mycket komplexa matematiska element med fraktal dimension i kapitlet om fraktaler .

Det är intressant att hela byggnaden av matematik: tal, tal, funktioner, operatorer, integraler, differentialer, ekvationer ... kan härledas från ett begrepp - en tom mängd! Det räcker att anta att det finns en tom uppsättning, de nyskapade elementen kan kombineras till uppsättningar för att kunna bygga all matematik. Så konstruerade den tyske logikern Gottlob Frege de naturliga talen. Noll är en klass av mängder vars element är i ömsesidig överensstämmelse med elementen i den tomma mängden. Den ena är en klass av mängder vars element är i ömsesidig överensstämmelse med elementen i en mängd vars enda element är den tomma mängden. Två är en klass av mängder vars element är en-till-en med elementen i mängden som består av den tomma mängden och den mängd vars enda element är den tomma mängden... och så vidare. Vid första anblicken verkar detta vara något väldigt komplicerat, men det är det faktiskt inte.

Blått spred sig över mig

luktade ljung och luktade mynta...

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Det är svårt att föreställa sig

Ingenting är svårt att föreställa sig. I Stanisław Lems berättelse "Hur världen blev räddad" byggde formgivaren Trurl en maskin som skulle göra allt som började med en bokstav. När Klapaucius beordrade att den skulle byggas nic, började maskinen ta bort olika föremål från världen - med det yttersta målet att ta bort allt. När den skrämde Klapaucius stannade bilen, hade galärer, idegranar, hängande, hackor, ramsor, vispar, sittpuffar, kvarnar, spett, filidron och frost för alltid försvunnit från världen. Och faktiskt, de försvann för alltid ...

Józef Tischner skrev mycket bra om ingenting i sin bergsfilosofis historia. Under min sista semester bestämde jag mig för att uppleva denna intighet, nämligen att jag åkte till torvmossarna mellan Nowy Targ och Jabłonka i Podhale. Detta område kallas till och med Pustachia. Du går, du går, men vägen minskar inte - naturligtvis i vår blygsamma, polska skala. En dag tog jag en buss i den kanadensiska provinsen Saskatchewan. Utanför låg ett sädesfält. Jag tog en tupplur i en halvtimme. När jag vaknade körde vi genom samma sädesfält... Men vänta, är det här tomt? På sätt och vis är frånvaron av förändring bara tomhet.

Vi är vana vid den ständiga närvaron av olika föremål omkring oss, och från Något du kan inte fly ens med slutna ögon. "Jag tänker, därför är jag", sa Descartes. Om jag redan har tänkt något, så finns jag, vilket betyder att det åtminstone finns något i världen (nämligen jag). Finns det jag trodde? Detta kan diskuteras, men inom modern kvantmekanik är Heisenberg-principen känd: varje observation stör det observerade objektets tillstånd. Tills vi ser det nic det finns inte, och när vi börjar leta upphör objektet att vara Tycka om och det blir Något. Det börjar bli absurt antropisk princip: Det är ingen idé att fråga hur världen skulle se ut om vi inte fanns. Världen är vad den verkar för oss. Kanske kommer andra varelser att se jorden som kantig?

En positron (sådan positiv elektron) är ett hål i rymden, "det finns ingen elektron." I förintelseprocessen hoppar elektronen in i detta hål och "ingenting händer" - det finns inget hål, ingen elektron. Jag kommer att hoppa över många skämt om hål i schweizisk ost ("ju mer jag har, desto mindre där ..."). Den berömde kompositören John Cage hade redan använt sina idéer i sådan utsträckning att han komponerade (?) ett musikstycke (?) där orkestern sitter orörlig i 4 minuter 33 sekunder och naturligtvis inte spelar någonting. "Fyra minuter och trettiotre sekunder är tvåhundrasjuttiotre, 273, och minus 273 grader är absolut noll, där all rörelse stannar", förklarade kompositören (?).

Filtrera till noll, ingenting, nick, nick, ingenting, noll!

Jerzy i Andrzej Wajdas film Under åren,

dagarna går"

Hur är det med alla?

Många människor (från enkla bönder till framstående filosofer) undrade över fenomenet existens. I matematik är situationen enkel: det finns något som är konsekvent.

Hon försvann in i de marginella fälten

I blåklint, ogräs och lejonmun...

Sånt här händer

Speciellt under skörden och under skörden

framförallt…

Wojciech Mlynarski, Harvest Girl

Allt är i den andra ytterligheten av Ingenting. I matematik vet vi det Allt finns inte. Bara en alldeles för felaktig föreställning om att hans existens skulle vara fri från kontroverser. Detta kan förstås av exemplet med den gamla paradoxen: "Om Gud är allsmäktig, skapa då en sten att plocka upp?" Det matematiska beviset för att det inte kan finnas mängder av alla mängder är baserat på satsen sångare-Bershtein, som säger att "ett oändligt antal" (matematisk: kvantitativ siffra) mängden av alla medlemmar i en given uppsättning är större än antalet element i denna uppsättning.

Om en uppsättning har element så har den 2ⁿ delmängder; till exempel, när = 3 och mängden består av {1, 2, 3} så finns följande delmängder:

• tre tvåelementsuppsättningar: var och en av dem saknar ett av talen 1, 2, 3,
• en tom uppsättning,
• tre enelementsuppsättningar,
• hela uppsättningen {1,2,3}

– bara åtta, 2³Och läsare som nyligen har tagit examen från skolan skulle jag vilja komma ihåg motsvarande formel:

Var och en av de Newtonska symbolerna i denna formel bestämmer antalet k-elementuppsättningar i -elementuppsättningen.

Inom matematiken förekommer binomialkoefficienter på många andra ställen, till exempel i intressanta formler för reducerad multiplikation:

och från deras exakta form är deras ömsesidiga beroende mycket mer intressant.

Det är svårt att förstå vad - vad gäller logik och matematik - är och vad Allt inte är. Argument för icke-existens Precis samma som Nalle Puh, som artigt frågade sin gäst, Tiger, gillar tigrarna honung, ekollon och tistlar överhuvudtaget? "Tigrar gillar allt", svarade den som Kubus drog slutsatsen att om de gillar allt, så gillar de också att sova på golvet, därför kan han, Vinnie, gå tillbaka till sängen.

Ett annat argument Russells paradox. Det finns en frisör i stan som rakar alla män som inte rakar sig själva. Rakar han sig själv? Båda svaren motsäger villkoret att de dödar dem, och bara de, som inte gör det själva.

Letar efter en samling av alla samlingar

Avslutningsvis kommer jag att ge ett smart, men mest matematiskt bevis på att det inte finns någon uppsättning av alla uppsättningar (inte att förväxla med det).

Först kommer vi att visa att för alla icke-tom uppsättningar X är det omöjligt att hitta en ömsesidigt unik funktion som mappar denna uppsättning till mängden av dess delmängder P(X). Så låt oss anta att denna funktion existerar. Låt oss beteckna det med det traditionella f. Vad är f från x? Det här är en samling. Tillhör xf x? Detta är okänt. Antingen måste man eller så gör man det inte. Men för vissa x måste det ändå vara så att det inte tillhör f av x. Tja, betrakta då mängden av alla x för vilka x inte hör till f(x). Beteckna den (denna mängd) med A. Den motsvarar något element a i mängden X. Tillhör a A? Låt oss anta att du borde. Men A är en mängd som bara innehåller de element av x som inte tillhör f(x) ... Tja, den kanske inte tillhör A? Men mängden A innehåller alla beståndsdelar av denna egenskap, och därmed också A. Slut på beviset.

Därför, om det fanns en uppsättning av alla uppsättningar, skulle den själv vara en delmängd av sig själv, vilket är omöjligt enligt det tidigare resonemanget.

Puh, jag tror inte att många läsare har sett detta bevis. Snarare tog jag upp det för att visa vad matematiker hade att göra i slutet av artonhundratalet, när de började studera grunderna för sin egen vetenskap. Det visade sig att problemen ligger där ingen förväntade sig dem. Dessutom, för hela matematiken spelar dessa resonemang om baserna ingen roll: vad som än händer i källarna - hela matematikens byggnad står på en fast sten.

Samtidigt på toppen...

Vi noterar ytterligare en moral från berättelserna om Stanislav Lem. På en av sina resor nådde Iyon Tichi en planet vars invånare, efter en lång evolution, äntligen nådde det högsta utvecklingsstadiet. De är alla starka, de kan göra vad som helst, de har allt till hands... och de gör ingenting. De lägger sig på sanden och häller den mellan fingrarna. "Om allt är möjligt så är det inte värt det", förklarar de för den chockade Ijon. Måtte detta inte hända vår europeiska civilisation...