fem gånger i ögat

I slutet av 2020 hölls flera evenemang på universitet och skolor som sköts upp från... mars. En av dem var "firandet" av Pi-dagen. Om detta ämne höll jag en distansföreläsning vid universitetet i Schlesien den 8 december, och den här artikeln är en sammanfattning av föreläsningen. Hela festen började 9.42 och min föreläsning är planerad till 10.28. Var kommer denna noggrannhet ifrån? Det är enkelt: 3 gånger pi är cirka 9,42, och pi till 2:a potensen är cirka 9,88, och timmen 9 till 88:e potensen är 10 till 28:e potensen...

Seden att hedra detta nummer är uttrycker förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter och kallas ibland för Arkimedes konstant (och även i tysktalande kulturer), kommer från USA (se även: ). 3.14 mars “American style” kl 22:22, därav tanken. Den polska motsvarigheten kan vara den 7 juli eftersom bråkdelen 14/XNUMX approximerar π väl, vilket...Archimedes redan visste. Tja, mars XNUMX är den bästa tiden för sidoevenemang.

Dessa tre och fjorton hundradelar är ett av de få matematiska meddelanden som lämnats till oss från skolan för resten av våra liv. Alla vet vad det betyder"fem gånger i ögat". Det är så inarbetat i språket att det är svårt att uttrycka det annorlunda och lika graciöst. När jag frågade på en bilverkstad hur mycket en reparation kan kosta, tänkte mekanikern ett ögonblick och sa: "fem gånger ungefär åttahundra zloty." Jag bestämde mig för att utnyttja situationen. "Du menar en grov uppskattning?" Mekanikern trodde förmodligen att jag inte hörde rätt, så han upprepade: "Jag vet inte exakt hur mycket, men fem gånger med ögat blir det 800."

.

Vad handlar det om? I stavningen före andra världskriget användes "nej" tillsammans, och jag lämnade det där. Vi har inte att göra med alltför uppstyltad poesi här, även om jag gillar tanken att "det gyllene skeppet rockar lycka." Fråga eleverna: Vad betyder den här tanken? Men värdet av denna text ligger någon annanstans. Antalet bokstäver i följande ord är siffrorna för expansionen av pi. Låt oss ta en titt:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117

År 1596, en holländsk vetenskapsman av tyskt ursprung Ludolf van Seulen beräknade värdet av pi exakt till 35 decimaler. Dessa figurer graverades sedan på hans grav. Hon tillägnade en dikt till numret pi och vår Nobelpristagare, Wyslava Szymborska. Szymborska var fascinerad av det här numrets icke-periodicitet och det faktum att med sannolikhet 1 kommer varje sekvens av nummer, till exempel vårt telefonnummer, att dyka upp där. Medan den första egenskapen är inneboende i varje irrationellt tal (som vi bör komma ihåg från skolan), är den andra ett intressant matematiskt faktum som är svårt att bevisa. Du kan till och med hitta appar som erbjuder: ge mig ditt telefonnummer så berättar jag var det finns i pi.

Där det är rundhet finns det sömn. Om vi ​​har en rund sjö är det 1,57 gånger längre att gå runt den än att simma. Det betyder förstås inte att vi kommer att simma en och en halv till två gånger långsammare än vad vi kommer att passera. Jag delade världsrekordet på 100 meter med världsrekordet på 100 meter. Intressant nog är resultatet för män och kvinnor nästan detsamma och är 4,9. Vi simmar 5 gånger långsammare än vi springer. Rodd är helt annorlunda – men en intressant utmaning. Den har en ganska lång story.

På flykt undan den förföljande Skurken seglade den stilige och ädle Gode till sjön. Skurken springer längs stranden och väntar på att hon ska få honom att landa. Självklart springer han snabbare än Dobry rows, och om han springer smidigt är Dobry snabbare. Så den enda chansen för Evil är att få Good från stranden - ett exakt skott från en revolver är inte ett alternativ, eftersom. Good har värdefull information som ondskan vill veta.

Goods strategi är följande. Han simmar längs sjön, närmar sig gradvis stranden, men försöker alltid vara på motsatt sida av den Onde, som springer kaotiskt till vänster och till höger. Detta visas i figuren. Låt Evils startposition vara Z₁, och Dobre är mitten av sjön. När Zly flyttar till Z₁, Good will simma till D.₁när Bad är i Z₂, Bra på D₂. Det kommer att flyta i sicksack, men i enlighet med regeln: så långt som möjligt från Z. Men när det rör sig bort från sjöns centrum måste Good röra sig i större och större cirklar och vid något tillfälle kan det inte upprätthålla principen om "att vara på andra sidan av det onda". Sedan rodde han av all kraft mot stranden i hopp om att den Onde inte skulle gå runt sjön. Kommer Good att lyckas?

Svaret beror på hur snabbt Good kan ro i förhållande till kostnaden för Bads ben. Antag att den dåliga personen springer med en hastighet som är en gång snabbare än den goda personen på sjön. Följaktligen har den största cirkeln i vilken Good kan ro för att motstå det onda en radie som är en gång mindre än sjöns radie. Så på ritningen har vi. Vid punkt W börjar vår Dobry att ro mot stranden. Det här måste gå 

 med fart

Han behöver tid.

Den onde jagar alla med sina bästa ben. Han måste slutföra halva cirkeln, vilket tar honom sekunder eller minuter, beroende på vilka enheter som valts. Om detta är mer än ett lyckligt slut:

Den gode kommer att lämna. Enkla konton visar vad det ska vara. Om en dålig person springer snabbare än 4,14 gånger snabbare än en bra person, slutar det illa. Och här spelar också vårt pi-nummer in.

Det som är runt är vackert. Låt oss titta på fotot av tre dekorativa tallrikar - jag har dem efter mina föräldrar. Vad är arean för den krökta triangeln mellan dem? Detta är en enkel uppgift; svaret finns på samma bild. Vi är inte förvånade över att det förekommer i formeln - trots allt, där det finns rundhet finns det pi.

Jag använde ett kanske obekant ord:. Detta är namnet på talet pi i den tysktalande kulturen, och allt detta tack vare holländarna (egentligen en tysk som bodde i Nederländerna - nationalitet spelade ingen roll vid den tiden), Ludolf av Seulena... År 1596 g. han beräknade 35 siffror av dess expansion till decimal. Detta rekord varade till 1853, då William Rutherford räknade till 440 platser. Rekordhållaren för manuella beräkningar är (förmodligen för alltid) William Shanks, som efter många års arbete publicerade (1873) expansion till 702 siffror. Det var inte förrän 1946 som de sista 180 siffrorna visade sig vara felaktiga, men de förblev så. 527 rätt. Det var intressant att hitta själva buggen. Strax efter publiceringen av resultatet misstänkte Shanks att "något var fel" - det fanns misstänkt få sjuor under utveckling. En ännu obevisad (december 2020) hypotes säger att alla siffror ska visas med lika frekvens. Detta fick D. T. Ferguson att ompröva Shanks beräkningar och hitta ett elevfel!

Senare hjälpte miniräknare och datorer människor. Den nuvarande (december 2020) rekordhållaren är Timothy Mullican (50 biljoner decimaler). Beräkningarna tog... 303 dagar. Låt oss leka: hur mycket utrymme skulle detta nummer ta upp om det skrivs ut i en vanlig bok? Tills nyligen var den tryckta "sidan" av texten 1800 tecken (30 rader med 60 rader). Låt oss minska antalet tecken och sidmarginaler, stoppa in 5000 tecken på en sida och skriva ut böcker på 50 sidor. XNUMX biljoner karaktärer skulle alltså ta upp tio miljoner böcker. Inte illa, eller hur?

Frågan är: vad är poängen med en sådan kamp? Ur en rent ekonomisk synvinkel, varför ska skattebetalarna betala för sådan "underhållning" av matematiker? Svaret är inte komplicerat. Först, från Seulen uppfann ämnen för beräkningar, då användbar för logaritmiska beräkningar. Om de sa till honom: snälla bygg ämnen, skulle han svara: varför? Liknande kommando: Som ni vet var denna upptäckt inte helt oavsiktlig, men ändå en biprodukt av en annan typ av forskning.

För det andra, låt oss läsa vad han skriver Timothy Mullican. Här är en reproduktion av början av hans verk. Professor Mullican arbetar med cybersäkerhet, och pi-tal är en liten hobby där han helt enkelt testade sitt nya cybersäkerhetssystem.

Men att 3,14159 är mer än tillräckligt inom teknik, det är en annan sak. Låt oss göra en enkel beräkning. Jupiter är 4,774 Tm från solen (terameter = 1012 meter). För att beräkna omkretsen av en sådan cirkel med en sådan radie med en absurd noggrannhet på 1 millimeter, skulle det vara tillräckligt att ta π = 3,1415926535897932.

Följande bild visar en kvartscirkel gjord av legoklossar. Jag använde 1774 pads och det var pi runt 3,08. Inte den bästa, men vad kan man förvänta sig? En cirkel kan inte göras av rutor.

Exakt. Talet π är känt för det faktum att fyrkantig cirkel - ett matematiskt problem som har väntat på sin lösning i mer än 2000 år - sedan grekisk tid. Kan du använda en kompass och rätlina för att konstruera en kvadrat vars area är lika med arean av den givna cirkeln?

Termen "cirkelkvadrat" har också kommit in i vardagsspråket som en symbol för något omöjligt. Jag trycker på knappen för att fråga, är detta något slags försök att fylla skyttegraven av fientlighet som delar medborgarna i vårt vackra land? Men jag undviker redan det här ämnet, för jag mår nog bara bra av matematik.

Och återigen samma sak - lösningen på problemet med att kvadrera cirkeln dök inte upp på ett sådant sätt att författaren till lösningen, Charles Lindemann, 1882 var han bestämd och lyckades slutligen. Till viss del ja, men det var resultatet av ett anfall från bred front. Matematiker har lärt sig att siffror finns i olika typer. Inte bara heltal, rationella (d.v.s. bråk) och irrationella. Omätbarheten kan också vara bättre eller sämre. Vi kanske kommer ihåg från skolan att ett irrationellt tal är √2, ett tal som uttrycker förhållandet mellan längden på en kvadrats diagonal och längden på dess sida. Som alla irrationella tal har det en obestämd förlängning. Låt mig påminna dig om att periodisk expansion är en egenskap hos rationella tal, dvs. privata heltal:

Här upprepas talföljden 142857 i det oändliga. För √2 kommer detta inte att hända - detta är en del av irrationaliteten. Men du kan:

(fraktionen fortsätter för alltid). Vi ser ett mönster här, men av en annan typ. Pi är inte ens så vanligt. Det kan inte erhållas genom att lösa en algebraisk ekvation - det vill säga en där det inte finns någon kvadratrot, ingen logaritm, inga trigonometriska funktioner. Detta visar redan att det inte är konstruerbart - att rita cirklar leder till kvadratiska funktioner och linjer - raka linjer - till ekvationer av första graden.

Kanske har jag avvikit från huvudintrigen. Endast utvecklingen av all matematik gjorde det möjligt att återvända till rötterna - till den uråldriga vackra matematiken hos tänkarna som skapade den europeiska tankekulturen för oss, så tveksam av vissa idag.

Från en mängd representativa mönster har jag valt två. Vi förknippar den första av dem med efternamnet Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Men han var känd (modell, inte Leibniz) för den medeltida hinduiska forskaren Madhava från Sangamagrammet (1350-1425). Överföringen av information på den tiden var inte stor - Internetanslutningar var ofta buggiga och det fanns inga batterier för mobiltelefoner (eftersom elektroniken ännu inte hade uppfunnits!). Formeln är vacker, men värdelös för beräkningar. Från hundra ingredienser erhålls "bara" 3,15159.

han är lite bättre Viètes formel (den från andragradsekvationer), och dess formel är lätt att programmera eftersom nästa term i produkten är kvadratroten av den föregående plus två.

Vi vet att cirkeln är rund. Vi kan säga att det här är en 100-procentig runda. En matematiker kommer att fråga: kan något inte vara 1 procent runt? Tydligen är detta en oxymoron, en fras som innehåller en dold motsägelse, såsom het is. Men låt oss försöka mäta hur runda siffrorna kan vara. Det visar sig att ett bra mått ges av följande formel, där S är arean och L är figurens omkrets. Låt oss ta reda på att cirkeln verkligen är rund, att sigma är lika med 6. Arean av en cirkel är omkretsen. Vi sätter in... och ser vad som är rätt. Hur rund är en kvadrat? Beräkningarna är lika enkla, jag ger dem inte ens. Låt oss ta en vanlig hexagon inskriven i en cirkel med en radie. Omkretsen är uppenbarligen XNUMX.

Pol

Vad sägs om en vanlig hexagon? Dess omkrets är 6 och dess yta är

Så vi har

vilket är ungefär lika med 0,952. Hexagonen är mer än 95 % "rund".

Ett intressant resultat erhålls när man beräknar rundheten på en sportstadion. Enligt IAAF:s regler ska raksträckor och kurvor vara 40 meter långa, även om avvikelser är tillåtna. Jag minns att Bislet Stadion i Oslo var smal och lång. Jag skriver "var" eftersom jag till och med körde på det (för en amatör!), men för mer än XNUMX år sedan. Låt oss ta en titt:

Om en båge har en radie på 100 meter är radien för den bågen meter. Gräsmattans yta är kvadratmeter, och området utanför den (där det finns hoppbrädor) uppgår till kvadratmeter. Låt oss lägga in detta i formeln:

Så har rundheten på en sportstadion något att göra med en liksidig triangel? Eftersom höjden på en liksidig triangel är lika många gånger dess sida. Det är ett slumpmässigt sammanträffande av siffror, men det är trevligt. Jag gillar det. Hur är det med läsarna?

Tja, det är bra att det är runt, även om vissa kanske hävdar eftersom viruset som påverkar oss alla är runt. Åtminstone är det så de ritar det.