omvänd charm

Det pratas mycket om "motsatsernas skönhet", och inte bara i matematik. Kom ihåg att motsatta tal är de som skiljer sig endast i tecken: plus 7 och minus 7. Summan av motsatta tal är noll. Men för oss (d.v.s. matematiker) är de ömsesidiga siffrorna mer intressanta. Om produkten av tal är lika med 1, är dessa tal inverser av varandra. Varje tal har sin motsats, varje tal som inte är noll har sin invers. Motsatsen till inversen är fröet.

Inversion sker där två kvantiteter är relaterade till varandra så att om den ena ökar, minskar den andra i motsvarande takt. "Motsvarande" betyder att produkten av dessa kvantiteter inte förändras. Vi minns från skolan: detta är omvänd proportionalitet. Om jag vill ta mig till min destination på halva tiden (det vill säga halvera tiden) måste jag dubbla min hastighet. Om du minskar volymen av ett förseglat kärl med gas med n gånger, kommer dess tryck att öka med n gånger.

I grundutbildningen skiljer vi noggrant mellan differentiella och relativa jämförelser. "Hur mycket mer"? - "Hur många gånger mer?"

Här är några skolevenemang:

1 jobb. Av två positiva kvantiteter är den första 5 gånger större än den andra och samtidigt 5 gånger större än den första. Vilka är måtten?

2 jobb. Om ett tal är större än det andra med 3, och det andra är större än det tredje med 2, hur mycket större är då det första talet än det tredje? Om det första positiva talet är två gånger det andra och det första talet är tre gånger det tredje, hur många gånger är då det första talet större än det tredje?

3 jobb. I uppgift 2 är endast naturliga tal tillåtna. Är ett arrangemang som beskrivs där möjligt?

4 jobb. Av två positiva kvantiteter är den första 5 gånger större än den andra och den andra 5 gånger större än den första. Är det möjligt?

Begreppet "medel" eller "medel" verkar väldigt enkelt. Om jag cyklade 55 km på måndagen, 45 km på tisdagen och 80 km på onsdagen, cyklade jag 60 km på min cykel per dag. Vi håller helhjärtat med om dessa beräkningar, även om de är lite konstiga eftersom jag aldrig har åkt 60 km på en enda dag. Vi accepterar också lätt en persons aktier: om tvåhundra personer besöker en restaurang inom sex dagar, är den genomsnittliga dagspriset 33 och en tredje person. Hm!

Det finns problem bara med medelstorleken. Jag gillar att cykla. Så jag utnyttjade erbjudandet från resebyrån "Kom med oss" - de levererar bagage till hotellet dit kunden ska cykla för rekreationsändamål. I fredags körde jag i fyra timmar: de två första i en hastighet av 24 km i timmen. Sedan var jag så trött att jag under de kommande två bara gjorde 16 i timmen. Vad var min medelhastighet? Självklart (24+16)/2=20km=20km/h.

På lördagen lämnades dock bagaget på hotellet och jag gick för att se slottets ruiner, 24 km bort, och efter att ha sett dem återvände jag. Jag körde en timme åt ena hållet och kom tillbaka långsammare, med en hastighet av 16 km i timmen. Vilken var min medelhastighet på rutten hotell-slott-hotell? 20 km i timmen? Självklart inte. Jag körde trots allt totalt 48 km och det tog mig en och en halv timme (”dit”) och en och en halv timme tillbaka. 48 km på två och en halv timme, d.v.s. timme 48/2,5=192/10=19,2 km! I denna situation är medelhastigheten inte det aritmetiska medelvärdet, utan en överton av de givna värdena:

och denna tvåvåningsformel kan läsas på följande sätt: det harmoniska medelvärdet av positiva tal är det reciproka av det aritmetiska medelvärdet av deras reciproka. Inversen av summan av inverser förekommer i många körer av skoluppgifter: om en arbetare gräver i timmar, den andra i b timmar, då gräver de tillsammans i tid. pool med vatten (en i timmen, en annan vid sex timmar). Om ett motstånd har R1 och det andra har R2, så har de parallellt motstånd. 

Om en dator kan lösa ett problem på några sekunder, en annan dator på b sekunder, så när de arbetar tillsammans...

Sluta! Det är här analogin slutar, eftersom allt beror på nätverkets hastighet: anslutningarnas effektivitet. Arbetare kan också hindra eller hjälpa varandra. Om en person kan gräva en brunn på åtta timmar, kan åttio arbetare göra det på 1/10 av en timme (eller 6 minuter)? Om sex bärare levererar ett piano till första våningen på 6 minuter, hur lång tid tar det en av dem att leverera pianot till sextionde våningen? Det absurda i sådana problem får oss att minnas den begränsade tillämpbarheten av all matematik på "verkliga livets" problem.

Kära säljare 

Vågar används inte längre. Låt oss komma ihåg att en vikt placerades på en skål med sådana vågar, varorna som vägdes placerades på den andra, och när vikten var i balans vägde varorna samma som vikten. Givetvis måste viktens båda armar vara lika långa, annars blir vägningen felaktig.

Ja, just det. Föreställ dig en säljare som har vikt med ojämna axlar. Han vill dock vara ärlig mot kunderna och väger varorna i två omgångar. Först lägger han en vikt på den ena pannan och en motsvarande mängd varor på den andra, så att vågen är i balans. Han väger sedan den andra "halvan" av varorna i omvänd ordning, det vill säga han lägger vikten på den andra pannan och varorna på den första. Eftersom händerna är ojämlika är halvorna aldrig lika. Och säljaren har ett rent samvete, och köpare berömmer hans ärlighet: "det han tog bort här, lade han till senare."

Men låt oss titta närmare på beteendet hos en säljare som vill vara ärlig trots den opålitliga vikten. Låt vågens armar ha längderna a och b. Om en av skålarna är lastad med en kilogramvikt och den andra är lastad med x varor, så är vågen i jämvikt om ax = b första gången och bx = a andra gången. Så den första delen av produkten är lika med b/a kilogram, den andra delen är lika med a/b. En bra vikt har a = b, vilket innebär att köparen får 2 kg varor. Låt oss se vad som händer när a ≠ b. Sedan a – b ≠ 0 och från den förkortade multiplikationsformeln vi har

Vi kom till ett oväntat resultat: den till synes rättvisa metoden för "genomsnittsmätning" fungerar i detta fall till fördel för köparen, som får fler varor.

Övning 5. (Viktigt, inte alls i matematik!). En mygga väger 2,5 milligram och en elefant fem ton (detta är helt korrekta uppgifter). Beräkna det aritmetiska, geometriska och harmoniska medelvärdet av myggans och elefantens massor (vikter). Kontrollera beräkningarna och se om de ger någon mening utöver räkneövningar. Låt oss titta på andra exempel på matematiska beräkningar som inte är vettiga i "verkliga livet". Tips: Vi har redan tittat på ett exempel i den här artikeln. Betyder detta att den anonyma elev vars åsikt jag hittade på Internet hade rätt: "Matte lurar människor med siffror"?

Ja, jag håller med om att i matematikens storhet kan man "lura" människor - varannan schamporeklam säger att den ökar frizzan med någon procent. Kommer vi att leta efter fler exempel på användbara vardagsverktyg som kan användas för kriminell verksamhet?

Gram!

Titeln på detta avsnitt är ett verb (första person plural) snarare än ett substantiv (nominativ plural av en tusendels kilo). Harmoni förutsätter ordning och reda. För de gamla grekerna var musik en gren av vetenskapen - visserligen, om vi säger det, överför vi den nuvarande betydelsen av ordet "vetenskap" till tiden före vår tideräkning. Pythagoras levde på XNUMX-talet f.Kr.. Han kände inte bara till en dator, mobiltelefon och e-post, han visste inte heller vem Robert Lewandowski, Mieszko I, Karl den Store och Cicero var. Han kunde inte arabiska eller ens romerska siffror (de kom i bruk runt XNUMX-talet f.Kr.), han visste inte vad de puniska krigen var... Men han kunde musik...

Han visste att på stränginstrument är vibrationskoefficienterna omvänt proportionella mot längden på strängarnas vibrerande delar. Han visste, han visste, han kunde helt enkelt inte uttrycka det som vi gör idag.

Frekvenserna för de två strängvibrationerna som utgör en oktav är i förhållandet 1:2, det vill säga frekvensen för den högre tonen är dubbelt så stor som frekvensen för den lägre tonen. Det korrekta vibrationsförhållandet för femman är 2:3, fjärde är 3:4, ren majortrea är 4:5, mindre tredjedel är 5:6. Det är trevliga konsonantintervall. Sedan finns det två neutrala, med vibrationsförhållanden på 6:7 och 7:8, sedan dissonanta - en stor ton (8:9), en liten ton (9:10). Dessa bråktal (kvoter) liknar förhållandena mellan på varandra följande termer i en sekvens, som matematiker (av just denna anledning) kallar en harmonisk serie:

– teoretiskt sett oändligt mycket. Förhållandet mellan oktavvibrationer kan skrivas som 2:4 och sätta en kvint mellan dem: 2:3:4, det vill säga vi delar upp oktaven i en kvint och en fjärde. Detta kallas övertonssegmentdelning i matematik:

Ris. 1. För en musiker: dividera oktaven AB med den femte AC.För matematikern: harmonisk segmentering

Vad menar jag när jag talar (ovan) om en teoretiskt oändlig summa, till exempel en harmonisk serie? Det visar sig att en sådan summa kan vara vilket stort antal som helst, huvudsaken är att vi lägger till tillräckligt länge. Ingredienserna blir mindre och mindre, men det blir fler och fler av dem. Vad råder? Här kommer vi in ​​på området matematisk analys. Det visar sig att ingredienserna är utarmade, men inte särskilt snabbt. Jag kommer att visa att jag, givet tillräckligt med ingredienser, kan göra en summa:

godtyckligt stor. Låt oss ta n = 1024 som ett exempel. Låt oss gruppera orden som visas i figuren:

Inom varje parentes är varje ord större än det föregående, förutom, naturligtvis, det sista, som är lika med sig självt. I följande parentes har vi 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 och 512 komponenter; värdet av summan i varje parentes är större än ½. Allt detta är mer än 5½. Mer exakta beräkningar skulle visa att detta belopp är cirka 7,50918. Inte mycket, men alltid, och du kan se att genom att ta n vilket stort som helst, kan jag slå vilket nummer som helst. Denna otroligt långsamma (till exempel överstiger vi tio med bara ingredienser) men oändliga tillväxt har alltid fascinerat matematiker.

Res till oändligheten med en harmonisk serie

Här är en gåta för ganska seriös matematik. Vi har ett obegränsat utbud av rektangulära block (vad säger jag, rektangulära!) med dimensioner på till exempel 4 × 2 × 1. Tänk på ett system som består av flera (på fikon. 2 - fyra) block placerade så att det första lutar ½ av sin längd, det andra uppifrån med ¼ och så vidare, det tredje med en sjättedel. Tja, låt oss kanske luta den första tegelstenen lite mindre för att göra den riktigt stabil. För beräkningar spelar detta ingen roll.

Ris. 2. Bestämning av tyngdpunkten

Det är också lätt att förstå att eftersom figuren som består av de två första blocken (räknat uppifrån) har ett symmetricentrum i punkt B, så är B tyngdpunkten. Låt oss geometriskt bestämma tyngdpunkten för ett system som består av tre övre block. Ett mycket enkelt argument räcker här. Låt oss mentalt dela upp treblockskompositionen i två övre och en tredje nedre. Detta centrum måste ligga på den sektion som förbinder de två delarnas tyngdpunkter. När i det här avsnittet?

Det finns två sätt att beteckna. I den första kommer vi att använda observationen att detta centrum ska ligga i mitten av treblockspyramiden, d.v.s. på den raka linjen som skär det andra, mittersta blocket. I den andra metoden inser vi att eftersom de två översta blocken har en total massa som är dubbelt så stor som för enstaka block #3 (ovan), måste tyngdpunkten vid denna sektion vara dubbelt så nära B som mitten S av det tredje blockera. På samma sätt hittar vi nästa punkt: vi förbinder det hittade mitten av de tre blocken med mitten S i det fjärde blocket. Mitten av hela systemet är på höjd 2 och vid den punkt som delar segmentet med 1 till 3 (dvs med ¾ av dess längd).

De beräkningar som vi kommer att utföra lite längre leder till resultatet som visas i fig. fig. 3. Successiva tyngdpunkter tas bort från den högra kanten av det nedre blocket genom att:

Således är projektionen av pyramidens tyngdpunkt alltid inom basen. Tornet kommer inte att välta. Låt oss nu titta på fikon. 3 och låt oss för ett ögonblick använda det femte blocket från toppen som bas (det som är markerat med en ljusare färg). Topp lutad:

sålunda är dess vänstra kant 1 längre än basens högra kant. Här är nästa sväng:

Vilken är den största svingen? Vi vet redan! Det finns ingen störst! Om du tar även de minsta blocken kan du få ett överhäng på en kilometer - tyvärr bara matematiskt: hela jorden skulle inte räcka till för att bygga så många block!

Ris. 3. Lägg till fler block

Nu beräkningarna som vi lämnade ovan. Vi kommer att beräkna alla avstånd "horisontellt" på x-axeln, för det är allt det handlar om. Punkt A (tyngdpunkten för det första blocket) är 1/2 från den högra kanten. Punkt B (mitten av tvåblockssystemet) är belägen 1/4 från den högra kanten av det andra blocket. Låt slutet av det andra blocket vara startpunkten (vi går nu vidare till det tredje). Till exempel, var är tyngdpunkten för ett block #3? Halva längden av detta block, därför tas det bort från vår referenspunkt med 1/2 + 1/4 = 3/4. Var är punkt C? I två tredjedelar av segmentet mellan 3/4 och 1/4, dvs vid punkten till, ändrar vi startpunkten till högerkanten av det tredje blocket. Tyngdpunkten för treblockssystemet är nu borttagen från den nya referenspunkten, och så vidare. Tyngdpunkt C_n av ett torn som består av n block är 1/2n bort från den momentana referenspunkten, som är den högra kanten av basblocket, dvs det n:te blocket från toppen.

Eftersom serierna av reciproka divergerar kan vi få vilken stor variation som helst. Skulle detta verkligen kunna förverkligas? Det är som ett oändligt tegeltorn - förr eller senare kommer det att kollapsa av sin egen tyngd. I vårt schema innebär minimala felaktigheter i blockplacering (och den långsamma ökningen av delradsummor) att vi inte kommer särskilt långt.