Lem, Tokarchuk, Krakow, matematik

Den 3-7 september 2019 ägde Jubileumskongressen för Polish Mathematical Society rum i Krakow. Jubileum, eftersom hundraårsdagen av grundandet av sällskapet. Den fanns i Galicien från 1:a åren (utan adjektivet att kejsaren FJ1919:s polska liberalism hade sina gränser), men som en rikstäckande organisation verkade den först från 1919. Stora framsteg inom polsk matematik går tillbaka till 1939-talet XNUMX-XNUMX. XNUMX vid Jan Casimir University i Lviv, men konventet kunde inte äga rum där – och det är inte heller den bästa idén.

Mötet var mycket festligt, fullt av tillhörande evenemang (inklusive ett framträdande av Jacek Wojcicki på slottet i Niepolomice). Huvudföreläsningarna hölls av 28 talare. De var på polska eftersom de inbjudna gästerna var polacker – inte nödvändigtvis i betydelsen medborgarskap, utan erkände sig själva som polacker. Åh ja, bara tretton föreläsare kom från polska vetenskapliga institutioner, de återstående femton kom från USA (7), Frankrike (4), England (2), Tyskland (1) och Kanada (1). Jo, detta är ett välkänt fenomen i fotbollsligor.

De bästa presterar ständigt utomlands. Det är lite sorgligt, men frihet är frihet. Flera polska matematiker har gjort karriärer utomlands som är ouppnåeliga i Polen. Pengar spelar en sekundär roll här, men jag vill inte skriva om sådana ämnen. Kanske bara två kommentarer.

I Ryssland, och innan dess i Sovjetunionen, var och är detta på den mest medvetna nivån ... och på något sätt vill ingen emigrera dit. I sin tur, i Tyskland, söker ett dussintal kandidater till en professur vid vilket universitet som helst (kollegor från universitetet i Konstanz sa att de hade 120 ansökningar på ett år, varav 50 var mycket bra och 20 var utmärkta).

Få av jubileumskongressens föreläsningar kan sammanfattas i vår månadstidning. Rubriker som "Gränser för glesa grafer och deras tillämpningar" eller "Linjär struktur och geometri för delrum och faktorutrymmen för normaliserade högdimensionella utrymmen" kommer inte att berätta någonting för den genomsnittliga läsaren. Det andra ämnet introducerades av min vän från de första kurserna, Nicole Tomchak.

För några år sedan nominerades hon för den prestation som presenterades i denna föreläsning. Fields Medalj är motsvarande för matematiker. Hittills har bara en kvinna fått detta pris. Värt att notera är också föreläsningen Anna Marciniak-Chohra (Heidelberg University) "Rollen av mekanistiska matematiska modeller i medicin på exemplet med leukemi modellering".

in i medicin. Vid universitetet i Warszawa har en grupp ledd av prof. Jerzy Tyurin.

Föreläsningens titel kommer att vara obegriplig för läsarna Veslava Niziol (z prestiżowej Högre Pedagogiska Skolan) "-adic Hodge teori". Ändå är det denna föreläsning som jag har bestämt mig för att diskutera här.

Geometri -adic världar

Det börjar med enkla små saker. Kommer du ihåg, läsare, metoden för skriftligt utbyte? Definitivt. Tänk tillbaka på de sorglösa åren i grundskolan. Dividera 125051 med 23 (detta är åtgärden till vänster). Vet du att det kan vara annorlunda (åtgärd till höger)?

Denna nya metod är intressant. Jag går från slutet. Vi måste dividera 125051 med 23. Vad behöver vi multiplicera 23 med så att den sista siffran blir 1? Söker i minnet och vi har :=7. Den sista siffran i resultatet är 7. Multiplicera, subtrahera, vi får 489. Hur multiplicerar man 23 för att få 9? Naturligtvis med 3. Vi kommer till den punkt där vi bestämmer alla siffror för resultatet. Vi tycker att det är opraktiskt och svårare än vår vanliga metod – men det är en fråga om övning!

Saker och ting tar en annan vändning när den modige mannen inte är helt delad av divisorn. Låt oss göra uppdelningen och se vad som händer.

Till vänster finns en typisk skolbana. Till höger står "våra konstiga".

Vi kan kontrollera båda resultaten genom att multiplicera. Vi förstår det första: en tredjedel av siffran 4675 är etttusenfemhundrafemtioåtta, och tre under perioden. Det andra är inte vettigt: vad föregås detta tal av ett oändligt antal sexor och sedan 8225?

Låt oss lämna frågan om mening för ett ögonblick. Låt oss spela. Så låt oss dividera 1 med 3 och sedan 1 med 7 vilket är en tredjedel och en sjundedel. Vi kan enkelt få:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Denna sista rad betyder: block 285714 upprepas på obestämd tid i början, och slutligen finns det tre av dem. För de som inte tror, ​​här är ett test:

Låt oss nu lägga till bråk:

Sedan lägger vi ihop de mottagna konstiga siffrorna, och vi får (kontrollera) samma konstiga nummer.

......95238095238095238095238010

Vi kan kontrollera att detta är lika med

Kontentan är ännu inte att se, men aritmetiken är korrekt.

Ännu ett exempel.

Det vanliga, om än stort, numret 40081787109376 har en intressant egenskap: dess torg slutar också på 40081787109376. nummer x40081787109376, vilket är ( x40081787109376)² slutar också på x40081787109376.

Dricks. Vi har 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, så nästa siffra är tre till tios komplement, vilket är 7. Låt oss kolla: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Frågan om varför det är så är svår. Det är enklare: hitta liknande ändelser för siffror som slutar på 5. Om vi ​​fortsätter processen med att hitta nästa siffror på obestämd tid, kommer vi till sådana "tal" som ²=²= (och inget av dessa tal är lika med noll eller ett).

vi förstår väl. Ju längre efter decimalkomma, desto mindre viktigt är talet. I tekniska beräkningar är den första siffran efter decimalpunkten viktig, liksom den andra, men i många fall kan det antas att förhållandet mellan en cirkels omkrets och dess diameter är 3,14. Självklart behöver fler siffror in i flygbranschen, men jag tror inte att det blir fler än tio.

Namnet stod i rubriken på artikeln Stanislav Lem (1921-2006), samt vår nya Nobelpristagare. Lady Olga Tokarchuk Jag nämnde bara detta pga skrikande orättvisaFaktum är att Stanislav Lem inte fick Nobelpriset i litteratur. Men det är inte i vårt hörn.

Lem förutsåg ofta framtiden. Han undrade vad som skulle hända när de blev oberoende av människor. Hur många filmer om detta ämne har inte dykt upp på sistone! Lem förutspådde och beskrev ganska exakt den optiska läsaren och framtidens farmakologi.

Han kunde matematik, även om han ibland behandlade det som en prydnad, utan att bry sig om korrektheten i beräkningarna. Till exempel, i berättelsen "Trial" går Pirks-piloten in i omloppsbana B68 med en rotationsperiod på 4 timmar 29 minuter, och instruktionen är 4 timmar 26 minuter. Han minns att de räknade med ett fel på 0,3 procent. Han ger data till miniräknaren, och räknaren svarar att allt är bra ... Tja, nej. Tre tiondels procent av 266 minuter är mindre än en minut. Men ändrar detta fel något? Kanske var det medvetet?

Varför skriver jag om detta? Många matematiker har också tagit upp denna fråga: föreställ dig ett samhälle. De har inte vårt mänskliga sinne. För oss är 1609,12134 och 1609,23245 mycket nära siffror - bra approximationer till den engelska milen. Däremot kan datorer betrakta numren 468146123456123456 och 9999999123456123456 som nära. De har samma tolvsiffriga ändelser.

Ju vanligare siffror i slutet, desto närmare siffrorna. Och detta leder till det så kallade avståndet -adic. Låt p vara lika med 10 för ett ögonblick; varför bara "för ett tag", ska jag förklara ... nu. 10 poängs avståndet för siffrorna skrivna ovan är 

eller en miljondel - eftersom dessa siffror har sex vanliga siffror i slutet. Alla heltal skiljer sig från noll med ett eller mindre. Jag kommer inte ens skriva en mall för det spelar ingen roll. Ju fler identiska siffror i slutet, desto närmare siffrorna (för en person, tvärtom, betraktas de initiala siffrorna). Det är viktigt att p är ett primtal.

Sedan - de gillar nollor och ettor, så de ser allt i dessa mönster: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

I romanen Glos Pana anlitar Stanisław Lem forskare för att försöka läsa ett meddelande som skickats från livet efter detta, kodat noll-ett förstås. Är det någon som skriver till oss? Lem hävdar att "alla meddelanden kan läsas om det är ett meddelande om att någon ville berätta något för oss." Men är det? Jag lämnar läsarna med detta dilemma.

Vi lever i XNUMXD-rymden R³. Brev R påminner om att axlarna består av reella tal, d.v.s. heltal, negativa och positiva, noll, rationella (d.v.s. bråk) och irrationella, som läsare träffade i skolan (), och tal som kallas transcendentala tal, otillgängliga i algebra (detta är talet π , som har förenat en cirkels diameter med dess omkrets i mer än två tusen år).

Tänk om axlarna i vårt rymd var -adiska tal?

Jerzy Mioduszowski, en matematiker vid University of Silesia, hävdar att det kan vara så, och till och med att det kan vara så. Vi kan (säger Jerzy Mioduszewski) ockupera samma plats i rymden med sådana varelser, utan att störa och utan att se varandra.

Så vi har all geometri i "deras" värld att utforska. Det är osannolikt att "de" tänker likadant om oss och även studerar vår geometri, eftersom vår är ett gränsfall för alla "deras" världar. "Dem", det vill säga alla helvetesvärldar, där de är primtal. I synnerhet = 2 och denna fascinerande värld av noll-ett ...

Här kan läsaren av artikeln bli arg och till och med arg. "Är det här typen av nonsens som matematiker gör?" De fantiserar om att dricka vodka efter middagen, med mina (=skattebetalarnas) pengar. Och skingra dem i fyra vindar, låt dem gå till statliga gårdar ... åh, det finns inga fler statliga gårdar!

Koppla av. de hade alltid en förkärlek för sådana skämt. Låt mig bara nämna smörgåsteoremet: om jag har en ost- och skinksmörgås kan jag skära den i ett snitt för att halvera bullen, skinkan och osten. Detta är värdelöst i praktiken. Poängen är att detta bara är en lekfull tillämpning av en intressant allmän sats från funktionsanalys.

Hur allvarligt är det att ta itu med -adiska tal och relaterad geometri? Låt mig påminna läsaren om att rationella tal (förenklat: bråk) ligger tätt på linjen, men fyller den inte tätt.

Irrationella tal lever i "hål". Det finns många, oändligt många av dem, men man kan också säga att deras oändlighet är större än den för de enklaste, där vi räknar: en, två, tre, fyra ... och så vidare upp till ∞. Detta är vår mänskliga fyllning av "hål". Vi har ärvt denna mentala struktur från Pythagoras. 

Men det som är intressant och viktigt för en matematiker är att man inte kan "fylla" dessa hål med irrationella och p-adiska tal (för alla primtal p). För de läsare som förstår detta (och detta lärdes ut på varje gymnasieskola för trettio år sedan), är poängen att varje sekvens som tillfredsställer Cauchys tillstånd, konvergerar.

Ett utrymme där detta är sant kallas komplett ("ingenting saknas"). Jag kommer ihåg numret 547721051611007740081787109376.

Sekvensen 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 och så vidare konvergerar till en viss gräns, som är ungefär 0,5477210516110077400 81787109376.

Men ur synvinkeln på 10-adiska avståndet, konvergerar sekvensen av nummer 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 och så vidare också till det "märkliga" numret ... 547721051 611007740081787109376.

Men även det kanske inte är tillräckligt skäl för att ge forskarna offentliga pengar. Generellt sett försvarar vi (matematiker) oss med att det är omöjligt att förutse vad vår forskning kommer att vara användbar till. Det är nästan säkert att alla kommer att vara till någon nytta och att bara action på bred front har chans att lyckas.

En av de största uppfinningarna, röntgenmaskinen, skapades efter att radioaktivitet upptäcktes av misstag Becquerel. Om inte för det här fallet hade många års forskning förmodligen varit värdelös. "Vi letar efter ett sätt att ta en röntgenbild av människokroppen."

Till sist, det viktigaste. Alla är överens om att förmågan att lösa ekvationer spelar roll. Och här är våra konstiga nummer väl skyddade. Motsvarande sats (Jag hatar minkowski) säger att vissa ekvationer kan lösas i rationella tal om och bara om de har verkliga rötter och rötter i varje -adisk kropp.

Mer eller mindre detta tillvägagångssätt har presenterats Andrew Wiles, som löste den mest kända matematiska ekvationen under de senaste trehundra åren - jag rekommenderar läsare att skriva in den i en sökmotor "Fermats sista sats".