Färgade rutor och solförmörkelser

Artikeln beskriver mina klasser för mellanstadieelever - stipendiat till National Children's Fund. Stiftelsen söker sig till särskilt begåvade barn och ungdomar (från årskurs XNUMX i grundskolan till gymnasiet) och erbjuder "stipendier" till utvalda elever. De består dock inte alls av att ta ut kontanter, utan i en omfattande omsorg för utveckling av talang, som regel, under många år. Till skillnad från många andra projekt av den här typen tar välkända vetenskapsmän, kulturpersonligheter, framstående humanister och andra kloka personer, samt vissa politiker, Stiftelsens församlingar på allvar.

Stiftelsens verksamhet omfattar alla discipliner som är grundläggande skolämnen, förutom idrott, inklusive konst. Stiftelsen skapades 1983 som ett motgift mot dåtidens verklighet. Vem som helst kan söka till fonden (oftast via en skola, helst före läsårets slut), men det finns förstås ett visst såll, ett visst kvalificeringsförfarande.

Som jag redan nämnt är artikeln baserad på mina mästarklasser, specifikt i Gdynia, i mars 2016, på den 24:e gymnasieskolan på III gymnasieskola. Marin. Under många år har dessa seminarier anordnats under stiftelsens regi av Wojciech Tomalczyk, en lärare i extraordinär karisma och hög intellektuell nivå. 2008 var han bland de tio bästa i Polen, som belönades med titeln professor i pedagogik (försedd med lag för många år sedan). Påståendet: "Utbildning är världens axel" är en liten överdrift.

och månen är alltid fascinerande – då kan man känna att vi lever på en liten planet i ett enormt utrymme, där allt är i rörelse, mätt i centimeter och sekunder. Det skrämmer mig till och med lite, även tidsperspektivet. Vi får veta att nästa totala förmörkelse, synlig från området i dagens Warszawa, kommer att vara i ... 2681. Jag undrar vem som kommer att se den? De skenbara storlekarna på solen och månen på vår himmel är nästan desamma - det är därför förmörkelserna är så korta och så spektakulära. I århundraden borde dessa korta minuter räcka för att astronomer ska se solkoronan. Det är konstigt att de händer två gånger om året... men det betyder bara att någonstans på jorden kan de ses under en kort tidsperiod. Som ett resultat av tidvattenrörelser rör sig Månen bort från jorden - om 260 miljoner år kommer den att vara så långt borta att vi (vi???) bara kommer att se ringformade förmörkelser.

Han var tydligen den första att förutspå förmörkelse, var Thales av Miletus (28-585 århundraden f.Kr.). Vi kommer förmodligen inte att veta om det faktiskt hände, det vill säga om han förutspådde det, eftersom det faktum att förmörkelsen i Mindre Asien inträffade i maj 567, 566 f.Kr. är ett faktum som bekräftas av moderna beräkningar. Självklart tillhandahåller jag data baserat på dagens tidsräkning. När jag var barn föreställde jag mig hur folk räknade åren. Så det här är till exempel XNUMX år f.Kr., nyårsafton kommer och folk gläds: bara XNUMX år f.Kr.! Så glada de måste ha varit när "vår tid" äntligen kom! Vilken milstolpe vi upplevde för några år sedan!

Matematik för att beräkna datum och intervall förmörkelser, är inte särskilt komplex, men är fullproppad med alla möjliga faktorer relaterade till regelbundenhet och, ännu värre, ojämnheten i kroppens orbitala rörelser. Jag skulle till och med vilja veta den här matematiken. Hur kunde Thales of Miletus göra de nödvändiga beräkningarna? Svaret är enkelt. Du måste ha ett stjärndiagram. Hur gör man en sådan karta? Detta är inte heller svårt, de gamla egyptierna visste hur man gör det. Vid midnatt kommer två präster ut på templets tak. Var och en av dem sätter sig ner och ritar det han ser (som sin kollega). Två tusen år senare vet vi allt om planeternas rörelser...

Vacker geometri, eller kul på "mattan"

Grekerna gillade inte siffror, de tillgrep geometri. Detta är vad vi kommer att göra. Vår förmörkelse de kommer att vara enkla, färgglada, men lika intressanta och verkliga. Låt oss acceptera överenskommelsen att den blå figuren rör sig på ett sådant sätt att den förmörkar den röda. Låt oss kalla den blå figuren månen och den röda figuren solen. Vi kommer att ställa oss följande frågor:

1. hur länge varar förmörkelsen?
2. när hälften av målet är täckt;

   Ris. 1 Flerfärgad "matta" med sol och måne

3. vad är den maximala täckningen;
4. Är det möjligt att analysera beroendet av sköldtäckningen i tid? I den här artikeln (jag är begränsad av textens längd) kommer jag att fokusera på den andra frågan. Det finns en fin geometri bakom, kanske utan de tråkiga beräkningarna. Låt oss titta på fig. 1. Kan vi anta att det kommer att förknippas med... en solförmörkelse?

Jag måste ärligt säga att de uppgifter som jag kommer att diskutera kommer att vara speciellt utvalda och anpassade till mellan- och gymnasieelevers kunskaper och färdigheter. Men vi tränar på uppgifter som musiker som spelar vågar och idrottare som gör allmänna utvecklingsövningar. Dessutom, är det inte bara en vacker matta (Figur 1)?

Ris. 2 "Blå" måne och "röd" sol

Våra himlakroppar, åtminstone till en början, kommer att vara färgade rutor. Månen är blå, solen är röd (bäst för färgläggning). Med nuet förmörkelse Månen jagar solen över himlen, kommer ikapp... och täcker den. Det blir likadant med oss. Det enklaste fallet är när månen rör sig i förhållande till solen, som visas i fig. 2. En förmörkelse börjar när kanten på månens skiva vidrör kanten på solens skiva (fig. 2), och slutar när den går bortom den.

Ris. 3 Månen närmar sig solen diagonalt

Vi antar att "Månen" rör sig en kvadrat per tidsenhet, till exempel per minut. Förmörkelsen varar sedan i åtta tidsenheter, säg minuter. Halv solförmörkelser helt mörkt.. Hälften av urtavlan stängs två gånger: efter 2 och 6 minuter. Grafen över procentandelen mörker är enkel. Under de första två minuterna stängs skölden jämnt med en hastighet av noll till 1, och under de följande två minuterna öppnas den i samma takt.

Här är ett mer intressant exempel (fig. 3). Månen närmar sig solen diagonalt. Enligt vår minutöverenskommelse varar förmörkelsen 8√2 minuter - mitt i denna tid har vi en total förmörkelse. Låt oss beräkna vilken del av solen som täcks efter tid t (fig. 3). Om det har gått t minuter sedan förmörkelsens början, och som ett resultat av detta, är månen som visas i fig. 5, då (obs!) Därför är den täckt (ytan av kvadraten APQR), lika med halva solskivan; därför täcktes den när, d.v.s. efter 4 minuter (sedan 4 minuter före slutet av förmörkelsen).

Ris. 4 Graf över funktionen "skuggning".

Helhet varar ett ögonblick (t = 4√2), och grafen för den "skuggade delen"-funktionen består av två parabolbågar (fig. 4).

Vår blå måne kommer att vidröra hörnet med den röda solen, men den kommer att täcka den, inte diagonalt, utan något diagonalt. Intressant geometri dyker upp när vi komplicerar rörelsen lite (fig. 6). Rörelseriktningen är nu vektor [4,3], det vill säga "fyra celler till höger, tre celler upp." Solens position är sådan att förmörkelsen börjar (position A) när sidorna av "himlakropparna" konvergerar till en fjärdedel av sin längd. När månen flyttar till position B kommer den att förmörka en sjättedel av solen och vid position C kommer den att förmörka hälften. I position D har vi en total förmörkelse, och sedan går allt tillbaka till "som det var."

Ris. 5 En del av solen gömd under tiden t

En förmörkelse slutar när månen är i position G. Den varade så länge som sektionslängd AG. Om vi, som tidigare, tar tiden under vilken månen passerar "en kvadrat" som en tidsenhet, så är längden på AG lika. Om vi ​​gick tillbaka till den gamla konventionen att våra himlakroppar är 4 gånger 4, skulle resultatet bli annorlunda (vad?). Som lätt kan visas stängs målet efter t < 15. Grafen för funktionen "procent av skärmtäckning" kan ses i fig. 6.

Ris. 6 Diagram över funktionen "skyddsprocent".

Eclipse och Jump Equation

Ris. 7 Obstruktion av solskivan under förmörkelsen som visas i fig. 6

Problemet med förmörkelser skulle vara ofullständigt om vi inte övervägde fallet med cirklar. Det här är mycket mer komplicerat, men låt oss försöka ta reda på när en cirkel förmörkar hälften av den andra - och i det enklaste fallet, när en av dem rör sig längs diametern som förbinder dem båda. Ritningen är bekant för innehavare av alla kreditkort.

Att beräkna fältens position är komplext, eftersom det för det första kräver kunskap om formeln för arean av ett cirkulärt segment, för det andra kunskap om vinkelbågen och för det tredje (och värst av allt), förmågan att lösa en viss hoppekvation. Jag kommer inte att förklara vad en "transitiv ekvation" är; låt oss titta på ett exempel (fig. 8).

Ris. 8 "Sfärisk" förmörkelse

Den cirkulära sektionen är "skålen" som blir kvar när cirkeln skärs i en rak linje. Arean av ett sådant segment är S = 1/2r²(φ-sinφ), där r är cirkelns radie och φ är den centrala vinkeln på vilken segmentet vilar (fig. 8). Detta erhålls enkelt genom att subtrahera arean av triangeln från arean av den cirkulära sektorn.

Avsnitt O₁O₂ (avståndet mellan cirklarnas mittpunkter) är då 2rcosφ/2, och höjden (bredd, "midjelinje") h = 2rsinφ/2. Så om vi vill beräkna när månen kommer att täcka halva solskivan, måste vi lösa ekvationen: som efter förenkling tar formen:

Ris. 9 Grafer över två funktioner

Att lösa sådana ekvationer går utöver enkel algebra – ekvationen involverar både vinklar och deras trigonometriska funktioner. Ekvationen går utom räckhåll för traditionella metoder. Det är därför det heter hoppa. Låt oss först se graferna för båda funktionerna, dvs funktioner och funktioner. Vi kan läsa den ungefärliga lösningen från denna figur. Däremot kan vi få uppskattningen med en iterativ metod eller... använd alternativet Solver i Excel-kalkylbladet. Varje gymnasieelev borde kunna göra detta, för det här är 20-talet. Jag använde ett mer komplext Mathematica-verktyg, och här är vår lösning med onödiga decimaler med precision:

SetPrecision[FindRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ris. 10 Eclipse-animation i matematica

Vi omvandlar detta till grader genom att multiplicera med 180/π. Vi får 132 grader, 20 minuter, 45 och en kvarts bågsekund. Låt oss räkna ut att avståndet till cirkelns mitt är O₁O₂ = 0,808 radie och "midja" 2,310.