Ekvationer, koder, chiffer, matematik och poesi
Michal Shurek säger om sig själv: "Jag föddes 1946. Jag tog examen från Warszawas universitet 1968 och sedan dess har jag arbetat vid fakulteten för matematik, informatik och mekanik. Vetenskaplig specialisering: algebraisk geometri. Jag har nyligen tagit itu med vektorbuntar. Vad är en vektorstråle? Så vektorerna måste bindas tätt med en tråd, och vi har redan ett gäng. Min fysikervän Anthony Sim fick mig att gå med i Young Technician (han medger att han borde få royalties från mina avgifter). Jag skrev några artiklar och sedan blev jag kvar, och sedan 1978 kan man läsa varje månad vad jag tycker om matematik. Jag älskar berg och trots att jag är överviktig försöker jag gå. Jag tror att lärarna är de viktigaste. Jag skulle hålla politikerna, oavsett deras alternativ, i ett hårt bevakat område så att de inte kan fly. Mata en gång om dagen. En beagle från Tulek gillar mig.
En ekvation är som ett chiffer för en matematiker. Att lösa ekvationer, matematikens kvintessens, är läsningen av chiffertext. Detta har uppmärksammats av teologer sedan XNUMXth århundradet. Johannes Paulus II, som kunde matematik, skrev och nämnde detta flera gånger i sina predikningar - tyvärr har fakta raderats ur mitt minne.
Inom skolvetenskap är det representerat Pythagoras som författare till satsen om något beroende i en rätvinklig triangel. Så det blev en del av vår eurocentriska filosofi. Och ändå har Pythagoras mycket fler dygder. Det var han som ålade sina elever skyldigheten att "känna världen", från "vad finns bakom denna kulle?" innan du studerar stjärnorna. Det är därför européer "upptäckte" forntida civilisationer, och inte vice versa.
Vissa läsare minnsViète mönsteroch"; många äldre läsare minns själva termen från skolan och ungefär det faktum att frågan förekom i andragradsekvationer. Dessa regelbundenheter är "ideologiskt" kryptering information.
Inte konstigt att en Francois Viette (1540-1603) ägnade sig åt kryptografi vid Henrik IV:s hov (den första franske kungen från Bourbondynastin, 1553-1610) och lyckades knäcka det chiffer som britterna använde i kriget med Frankrike. Så han spelade samma roll som de polska matematikerna (ledda av Marian Rejewski) som upptäckte hemligheterna bakom den tyska Enigma-chiffermaskinen före andra världskriget.
mode tema
Exakt. Ämnet "koder och chiffer" har länge blivit på modet i undervisningen. Jag har redan skrivit om detta flera gånger, och om två månader kommer det en serie till. Den här gången skriver jag under intrycket av en film om kriget 1920, där segern till stor del berodde på att de bolsjevikiska truppernas kod bröts av ett team ledd av de då unga Vaclav Sierpinski (1882-1969). Nej, det är inte Enigma än, det är bara en introduktion. Jag minns en scen från filmen där Józef Piłsudski (spelad av Daniil Olbrychski) säger till chefen för chifferavdelningen:
De avkodade meddelandena bar ett viktigt budskap: Tukhachevskys trupper skulle inte få stöd. Du kan attackera!
Jag kände Vaclav Sierpinski (om jag får säga så: jag var en ung student, han var en berömd professor), deltog i hans föreläsningar och seminarier. Han gav intrycket av en vissen forskare, frånvarande, upptagen med sin disciplin och inte se den andra världen. Han föreläste specifikt, vänd mot svarta tavlan, utan att titta på publiken ... men han kände sig som en enastående specialist. På ett eller annat sätt hade han vissa matematiska förmågor - till exempel för att lösa problem. Det finns andra, forskare som är relativt dåliga på att lösa pussel, men som har en djup förståelse för hela teorin och kan initiera hela kreativitetsområden. Vi behöver båda - även om den första kommer att gå snabbare.
Vaclav Sierpinski pratade aldrig om sina prestationer 1920. Fram till 1939 måste detta definitivt hållas hemligt, och efter 1945 åtnjöt de som kämpade med Sovjetryssland inte de dåvarande myndigheternas sympati. Min övertygelse om att det behövs forskare, som en armé, är bevisad: "för säkerhets skull." Här är president Roosevelt som kallar Einstein:
Den enastående ryske matematikern Igor Arnold sa öppet och sorgset att kriget hade ett stort inflytande på utvecklingen av matematik och fysik (radar och GPS hade också ett militärt ursprung). Jag går inte in på den moraliska aspekten av användningen av atombomben: här är förlängningen av kriget med ett år och döden av flera miljoner av deras egna soldater - det finns lidandet för oskyldiga civila.
***
Jag springer iväg till bekanta områden - k. Många av oss lekte med koderna, kanske scoutade, kanske bara så. Enkla chiffer, baserade på principen att ersätta bokstäver med andra bokstäver eller andra siffror, bryts rutinmässigt om vi bara fångar några få ledtrådar (vi gissar till exempel kungens namn). Statistisk analys hjälper också idag. Värre, när allt är föränderligt. Men det värsta är när det inte finns någon regelbundenhet. Tänk på koden som beskrivs i The Adventures of the Good Soldier Schweik. Ta en bok, till exempel, Syndfloden. Här är förslagen på första och andra sidan.
Vi vill koda ordet "CAT". Vi öppnar på sidan 1 och nästa sekund. Vi finner att på sidan 1 dyker bokstaven K först upp på 59:e plats. Vi hittar det femtionionde ordet på motsatta sidan, andra sidan. Det är ett "a"-ord. Nu bokstaven O. Till vänster är det 16:e ordet, och det sextonde till höger är "Mr." Bokstaven T ligger på 95:e plats, om jag räknat rätt, och det nittiofemte ordet från höger är "o". Så, CAT = 1 LORD O.
Ett "otänkbart" chiffer, om än smärtsamt långsamt både för kryptering och ... för att gissa. Anta att vi vill skicka bokstaven M. Vi kan kontrollera om vi kodar den med ordet "Wołodyjowski". Och efter oss håller de redan på att förbereda en fängelsecell. Vi kan bara räkna med en ersättare! Dessutom noterar kontraspionage rapporter om hemliga anställda som under en tid har kunderna villigt köpt den första volymen av The Flood.
Min artikel är ett bidrag till den här avhandlingen: även matematikers mest bisarra idéer kan tillämpas i en allmänt förstådd praktik. Är det till exempel möjligt att föreställa sig en mindre användbar matematisk upptäckt än testet för delbarhet med ... med 47?
När behöver vi det i livet? Och i så fall blir det lättare att försöka separera det. Om det delar sig, så är det bra, om inte, så ... i andra hand är det bra (vi vet att det inte delar sig).
Hur man delar och varför
Efter denna introduktion, låt oss gå vidare till. Känner ni läsare till några tecken på delbarhet? Definitivt. Jämna tal slutar på 2, 4, 6, 8 eller noll. Ett tal är delbart med tre om summan av dess siffror är delbart med tre. På samma sätt, med tecknet för delbarhet med nio - summan av siffrorna måste vara delbar med nio.
Vem behöver det? Jag skulle ljuga om jag övertygade läsaren om att han var bra för allt annat än... skoluppgifter. Tja, och en annan egenskap av delbarhet med 4 (och vad är det, läsare? Kanske kommer du att använda det när du vill veta vilket år nästa olympiad infaller ...). Men draget av delbarhet med 47? Detta är redan en huvudvärk. Kommer vi någonsin att veta om något är delbart med 47? Om ja, ta en miniräknare och se.
Detta. Du har rätt, läsare. Och ändå, läs vidare. Snälla du.
Bevis på delbarhet med 47: Talet 100+ är delbart med 47 om och endast om 47 är delbart med +8.
Matematikern kommer att le med tillfredsställelse: "Jösses, söt." Men matematik är matematik. Bevis är viktigt, och vi uppmärksammar dess skönhet. Hur kan vi bevisa vår egenskap? Det är väldigt enkelt. Subtrahera från 100 + talet 94 - 47 = 47 (2 -). Vi får 100+-94+47=6+48=6(+8).
Vi har subtraherat ett tal som är delbart med 47, så om 6 (+ 8) är delbart med 47, så är det 100 +. Men talet 6 är coprime till 47, vilket betyder att 6 (+ 8) är delbart med 47 om och bara om det är + 8. Slut på bevis.
Låt oss se Några exempel.
8805685 är delbart med 47? Om vi verkligen är intresserade av det kommer vi att få reda på det tidigare bara genom att dela upp oss som vi lärde oss i grundskolan. På ett eller annat sätt, nu finns det en miniräknare i varje mobiltelefon. Dividerat? Ja, privat 187355.
Nåväl, låt oss se vad tecknet på delbarhet säger oss. Vi kopplar bort de två sista siffrorna, multiplicerar dem med 8, lägger till resultatet till det "stympade numret" och gör samma sak med det resulterande numret.
8805685 → 88056 + 8 85 = 88736 → 887 + 8 36 = 1175 → 11 + 8 75 = 611 → 6 + 8 11 = 94.
Vi ser att 94 är delbart med 47 (kvoten är 2), vilket betyder att det ursprungliga talet också är delbart. Bra. Men tänk om vi fortsätter ha roligt?
94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.
Nu måste vi sluta. Fyrtiosju är delbart med 47, eller hur?
Behöver vi verkligen sluta? Tänk om vi går längre? Herregud, allt kan hända ... jag kommer att utelämna detaljerna. Kanske bara början:
47 → 0 + 8 47 = 376 → 3 + 8 76 = 611 → 6 + 8 11 = 94 → 0 + 8 94 = 752.
Men tyvärr är det lika beroendeframkallande som att tugga frön ...
752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.
Ah, fyrtiosju. Det hände förut. Vad kommer härnäst? . Samma. Siffrorna går i en slinga så här:
Det är verkligen intressant. Så många slingor.
Två följande exempel.
Vi vill veta om 10017627 är delbart med 47. Varför behöver vi denna kunskap? Vi minns principen: ve kunskap som inte hjälper den som vet. Kunskap finns alltid för något. Det kommer att vara för något, men nu ska jag inte förklara. Några fler konton:
10017627 → 100176 + 8 = 27.
"Han ändrade sin farbror från en yxa till en käpp." Vad får vi ut av allt detta?
Nåväl, låt oss upprepa förfarandet. Det vill säga, vi kommer att fortsätta att göra detta (det vill säga ordet "iterate").
100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.
Låt oss stoppa spelet, dividera som i skolan (eller på en miniräknare): 235 = 5 47. Bingo. Det ursprungliga numret 10017627 är delbart med 47.
Bravo till oss!
Tänk om vi går längre? Tro mig, du kan kolla upp det.
Och ytterligare ett intressant faktum. Vi vill kontrollera om 799 är delbart med 47. Vi använder delbarhetsfunktionen. Vi kopplar bort de två sista siffrorna, multiplicerar det resulterande talet med 8 och lägger till det som är kvar:
799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.
Det vi har? Är 799 delbart med 47 om och endast om 799 är delbart med 47? Ja, det stämmer, men det behövs ingen matematik för detta!!! Oljan är oljig (åtminstone denna olja är oljig).
Om lövet, pirater och slutet på skämt!
Ytterligare två berättelser. Var är det bästa stället att gömma ett löv? Svaret är uppenbart: i skogen! Men hur kan man hitta det då?
Den andra vet vi från böcker om pirater som vi läste för länge sedan. Piraterna gjorde en karta över platsen där de begravde skatten. Andra stal antingen den eller vann kampen. Men kartan angav inte vilken ö den var avsedd för. Och leta själv! Naturligtvis klarade piraterna detta (tortyr) - chifferna jag pratar om kan också extraheras med hjälp av sådana metoder.
Slut på skämt. Läsare! Vi skapar ett chiffer. Jag är en hemlig spion och använder "Junior Technician" som min kontaktbox. Vidarebefordra mig krypterade meddelanden enligt följande.
Konvertera först texten till en sträng med siffror med koden: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Som du kan se använder vi inte polska diakritiska tecken (d.v.s. utan ą, ę, ć, ń, ó, ś) och icke-polska q, v - men det icke-polska x är där för säkerhets skull. Låt oss inkludera ytterligare 25 som ett mellanslag (mellanslag mellan ord). Åh, det viktigaste. Vänligen använd kod nr 47.
Du vet vad det betyder. Du går till en kompis matematiker.
Vännens ögon vidgades av förvåning.
Du svarar stolt:
En matematiker förser dig med denna egenskap... och du vet redan att en funktion som inte ser iögonfallande ut används för kryptering
eftersom ett sådant mönster är en beskriven handling
100+→+8.
Så när du vill veta vad ett nummer betyder, som 77777777 i ett krypterat meddelande, använder du funktionen
100+→+8
tills du får en siffra mellan 1 och 25. Titta nu på den explicita alfanumeriska koden. Låt oss se: 77777777 →... Jag överlåter detta till dig som en uppgift. Men låt oss se vad bokstav 48 döljer? Låt oss läsa:
48 → 0 + 8 = 48.
Då får vi i tur och ordning:
384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432...
Slutet är inte i sikte. Först efter den sextionde (!) gången kommer ett nummer mindre än 25. Detta är 3, vilket betyder att 48 är bokstaven C.
Och vad ger detta budskap oss? (Jag vill påminna om att vi använder kodnummer 47):
80 – 152 – 136 – 546 – 695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 373.
Tänk på det, vad som är så komplicerat, några konton. Vi har börjat. Tidigt 80. Känd regel:
80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.
Det fortsätter så här:
326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.
Äta! Den första bokstaven i meddelandet är K. Puh, lätt, men hur lång tid tar det?
Låt oss också se hur mycket besvär vi har med talet 1234567. Först på sextonde gången får vi ett nummer mindre än 25, nämligen 12. Så 1234567 är L.
Okej, kan man säga, men den här aritmetiska operationen är så enkel att programmering på en dator omedelbart bryter koden. Ja det är sant. Dessa är enkla datorberäkningar. idé med offentligt chiffer och det handlar också om att göra beräkningarna svåra för datorn. Låt det verka i minst hundra år. Kommer han att dekryptera meddelandet? spelar ingen roll. Det spelar ingen roll på länge. Det är (mer eller mindre) vad offentliga chiffer handlar om. De kan gå sönder om man jobbar väldigt länge ... tills nyheterna inte längre är aktuella.
det har alltid fött "motvapen". Allt började med ett svärd och en sköld. De hemliga tjänsterna betalar enorma summor pengar till begåvade matematiker för att uppfinna krypteringsmetoder som datorer (inklusive de som skapats av oss) inte kommer att kunna knäcka under XNUMX-talet.
tjugoandra århundradet? Det är inte så svårt att veta att det redan finns många människor i världen som kommer att leva i detta vackra århundrade!
Åh va? Vad händer om jag ber (jag, den hemliga tjänstemannen som kontaktas av den "unga teknikern") att kryptera med kodnummer 23? Eller 17? Enkel:
Måtte vi aldrig behöva använda matematik för sådana syften.
***
Titeln på artikeln handlar om poesi. Vad har hon med det att göra?
Som vad? Poesi krypterar också världen.
Hur?
Genom deras metoder - liknande de algebraiska.
