SÅ TILL VEM, det vill säga: PROVA DÄR DU KAN - del 2

I föregående avsnitt behandlade vi Sudoku, ett räknespel där siffror i princip är ordnade på olika diagram enligt vissa regler. Det vanligaste alternativet är ett 9x9 schackbräde, vidare uppdelat i nio 3x3 rutor. Siffrorna från 1 till 9 måste ställas in på den så att de inte upprepas vare sig i en vertikal rad (matematiker säger: i en kolumn) eller i en horisontell rad (matematiker säger: i rad) - och dessutom så att de inte upprepas. upprepa inom en mindre ruta.

Na fikon. 1 vi ser detta pussel i en enklare version, som är en kvadrat på 6 × 6 uppdelad i rektanglar på 2 × 3. Vi infogar siffrorna 1, 2, 3, 4, 5, 6 i det - så att de inte upprepas vertikalt, varken horisontellt eller i var och en av de valda hexagonerna.

Låt oss försöka visas i den översta rutan. Kan du fylla i det med siffror från 1 till 6 enligt reglerna för detta spel? Det är möjligt – men tvetydigt. Låt oss se - rita en ruta till vänster eller en ruta till höger.

Man kan säga att detta inte är grunden för ett pussel. Vi brukar anta att ett pussel har en lösning. Uppgiften att hitta olika baser för en "stor" Sudoku, 9x9, är en svår uppgift och det finns ingen chans att helt lösa den.

En annan viktig koppling är det motsägelsefulla systemet. Den nedre mittersta rutan (den med siffran 2 i det nedre högra hörnet) kan inte fyllas i. Varför?

Kul och reträtter

Låt oss fortsätta spela. Låt oss använda barns intuition. De tror att underhållning är introduktionen till lärande. Låt oss gå ut i rymden. ingår fikon. 2 alla ser rutnätet tetraedergjorda av bollar, till exempel pingisbollar? Låt oss komma ihåg skolans geometrilektioner. Färgerna på bildens vänstra sida förklarar vad som limmas på vid montering av blocket. I synnerhet kommer de tre hörnbollarna (röda) att limmas till en. Därför måste de innehålla samma nummer. Kanske 9. Varför? Och varför inte?

Åh jag sa det inte uppgifter. Det låter ungefär så här: Är det möjligt att passa in siffrorna från 0 till 9 i ett synligt rutnät så att varje kant innehåller alla siffror? Uppgiften är inte svår, men det kräver mycket fantasi! Jag kommer inte att förstöra det roliga för läsarna och kommer inte att ge en lösning.

Det här är en väldigt vacker och underskattad form vanlig oktaeder, byggd av två pyramider (=pyramider) med en kvadratisk bas. Som namnet antyder har oktaedern åtta ansikten.

En oktaeder har sex hörn. Detta motsäger kubsom har sex ansikten och åtta hörn. Kanterna på båda klumparna är desamma - tolv vardera. Detta dubbla fasta ämnen - detta betyder att genom att koppla samman mittpunkterna på kubens ytor får vi en oktaeder, och mitten av oktaederns ytor kommer att ge oss en kub. Båda dessa stötar presterar ("för att de måste") Eulers formel: Summan av antalet hörn och antalet ytor är 2 fler än antalet kanter.

3. En vanlig oktaeder i parallell projektion och ett oktaedergitter sammansatt av sfärer på ett sådant sätt att varje kant har fyra sfärer.

1 jobb. Skriv först den sista meningen i föregående stycke med hjälp av en matematisk formel. På fikon. 3 du ser ett oktaedriskt nätverk, även det bestående av sfärer. Det finns fyra bollar på varje kant. Varje ansikte är en triangel med tio sfärer. Uppgiften ställs oberoende: är det möjligt att sätta siffror från 0 till 9 i cirklarna i rutnätet så att efter att ha limmat ihop en solid kropp innehåller varje vägg alla siffror (det följer att utan upprepning). Som tidigare är den största utmaningen i det här problemet hur nätet förvandlas till en solid. Jag kan inte förklara detta skriftligen, så jag ger ingen lösning här heller.

4. Två ikosaeder gjorda av pingisbollar. Lägg märke till det annorlunda färgschemat.

redan Platon (och han levde på XNUMX-XNUMX-talen f.Kr.) kände alla vanliga polyedrar: tetraeder, kub, oktaeder, dodekaeder i icosahedron. Det är fantastiskt hur han kom dit - ingen penna, inget papper, ingen penna, inga böcker, ingen smartphone, inget internet! Jag ska inte prata om dodekaedern här. Men icosahedral sudoku är intressant. Vi ser den här klumpen på illustration 4och hans nätverk på fig. 5.

5. Vanligt icosahedral mesh.

Som tidigare är detta inte ett rutnät i den mening som vi minns (?!) från skolan, utan ett sätt att limma trianglar från bollar (kulor).

2 jobb. Hur många kulor behövs för att montera en sådan ikosaeder? Stämmer följande resonemang fortfarande: eftersom varje yta är en triangel, om det skulle finnas 20 sidor, så behövs så många som 60 sfärer?

6. Icosahedron-nät av sfärer. Varje cirkel representerar till exempel en pingisboll, men att bygga cirklar på en cirkel, markerad med samma färg, smälter samman till en helhet. Så vi har tolv sfärer (= tolv hörn: röd, blå, lila, blå och åtta gula).

Det är lätt att se att tre siffror i ikosaedern inte räcker. Mer exakt: det är omöjligt att numrera hörnen med siffrorna 1, 2, 3 så att varje (triangulärt) ansikte har dessa tre siffror och det inte finns några upprepningar. Är det möjligt med fyra siffror? Ja det är möjligt! Låt oss ta en titt på Ris. 6 och 7.

7. Så här numrerar du sfärerna som utgör ikosaedern så att varje ansikte innehåller andra nummer än 1, 2, 3, 4. Vilken av kropparna i fig. 4 färgade på det här sättet?

3 jobb. Tre av de fyra talen kan väljas på fyra sätt: 123, 124, 134, 234. Hitta fem sådana trianglar i ikosaedern i fig. 7 (och även från illustrationer 4).

Övning 4 (kräver mycket god rumslig fantasi). Ikosaedern har tolv hörn, vilket innebär att den kan limmas ihop från tolv kulor (fikon. 7). Lägg märke till att det finns tre hörn (= kulor) märkta 1, tre märkta 2, och så vidare. Sålunda bildar bollar av samma färg en triangel. Vad är detta för triangel? Kanske liksidig? Titta igen illustrationer 4.

Nästa uppgift är för mor- och farföräldrar och barnbarn. Föräldrar kan också äntligen prova sig fram, men de behöver tålamod och tid.

5 jobb. Köp tolv (eller ännu bättre 24) pingisbollar, lite färg i fyra färger, en pensel och det lim du behöver - jag rekommenderar inte snabba sådana som Super Glue eller Droplet eftersom de torkar för snabbt och är farliga för barn. Limma ikosaedern. Klä ditt barnbarn i en T-shirt som kommer att tvättas (eller slängas) direkt efteråt. Täck bordet med folie (gärna tidningspapper). Färglägg försiktigt ikosaedern med fyra färger 1, 2, 3, 4, som visas i Fig. fikon. 7. Du kan ändra ordningen - först färglägga ballongerna och sedan limma dem. Samtidigt ska små cirklar lämnas omålade så att färgen inte fastnar på färgen.

Nu den svåraste uppgiften (eller snarare, hela deras sekvens).

Övning 6 (mer exakt ett allmänt ämne). Konstruera icosahedron som tetraeder och oktaeder på Ris. 2 och 3 Det betyder att det ska vara fyra bollar på varje kant. I denna variant är uppgiften både tidskrävande och till och med kostsam. Låt oss börja med att ta reda på hur många bollar du behöver. Varje ansikte har tio sfärer, så ikosaedern behöver tvåhundra? Nej! Vi måste komma ihåg att många bollar delas. Hur många kanter har en ikosaeder? Det kan noggrant beräknas, men vad är Eulerformeln för?

w–k+s=2

där w, k, s är antalet hörn, kanter respektive ytor. Vi kommer ihåg att w = 12, s = 20, vilket betyder k = 30. Vi har 30 kanter av ikosaedern. Du kan göra det annorlunda, för om det finns 20 trianglar så har de bara 60 kanter, men två av dem är vanliga.

Låt oss räkna hur många bollar som behövs. Varje triangel har bara en inre boll - varken på toppen av vår kropp eller på kanten. Vi har alltså bara 20 sådana bollar. Det finns 12 toppar. Varje kant har två bollar utan vertex (de är innanför kanten, men inte innanför ansiktet). Eftersom det finns 30 kanter blir det 60 bollar, men två av dem är vanliga, vilket innebär att du bara behöver 30 bollar, så du behöver totalt 20 + 12 + 30 = 62 bollar. Bollar kan köpas för minst 50 groschen (oftast mer). Lägger man till kostnaden för lim kommer det ut på... mycket. Bra limning kräver flera timmars mödosamt arbete. Tillsammans passar de för ett avkopplande tidsfördriv - jag rekommenderar dem istället för att till exempel titta på TV.

Retreat 1. I Andrzej Wajdas serie av filmer "By the Years, by the Days" spelar två män schack "för att de på något sätt behöver fördriva tiden före lunch." Detta utspelar sig i galiciska Krakow. Faktiskt: tidningar har redan lästs (på den tiden hade de 4 sidor), TV och telefon har ännu inte uppfunnits, det finns inga fotbollsmatcher. Uttråkad av pölar. I en sådan situation kom folk på underhållning för sig själva. Idag har vi dem efter att ha tryckt på fjärrkontrollen...

Retreat 2. Vid ett möte 2019 i Association of Mathematics Teachers visade en spansk professor ett datorprogram som kunde måla solida väggar i vilken färg som helst. Det var lite läskigt eftersom de bara ritade händerna och nästan skar av kroppen. Jag tänkte för mig själv: hur roligt kan man få av den här typen av "målning"? Allt tar två minuter, och den fjärde kommer vi inte ihåg någonting. Samtidigt lugnar och utbildar gammaldags ”slöjd”. De som inte tror, ​​låt dem försöka.

Låt oss återvända till XNUMXth århundradet och till vår verklighet. Om vi ​​inte vill ha avslappning i form av arbetskrävande limning av kulor, så kommer vi åtminstone att rita ett icosahedronnät vars kanter har fyra kulor. Hur man gör det? Smula ihop rätt fig. 6. Den uppmärksamma läsaren kan redan gissa problemet:

7 jobb. Är det möjligt att numrera kulorna med siffror från 0 till 9 så att alla dessa nummer finns på varje sida av en sådan ikosaeder?

Vad får vi betalt för?

Idag undrar vi ofta över syftet med vår verksamhet, och den "grå skattebetalaren" kommer att fråga varför han ska betala matematiker för att lösa sådana pussel?

Svaret är ganska enkelt. Sådana "pussel", intressanta i sig själva, är "ett fragment av något allvarligare." När allt kommer omkring är militärparader bara den yttre, spektakulära delen av en svår tjänst. Jag ska bara ge ett exempel, men jag börjar med det märkliga men internationellt erkända ämnet matematik. 1852 frågade en engelsk student sin professor om någon karta kunde färgläggas i fyra färger så att grannländerna alltid skulle visas i olika färger? Låt mig tillägga att vi inte överväger att "granna" de som bara träffas vid ett tillfälle, såsom delstaterna Wyoming och Utah i USA. Professorn visste inte... och problemet väntade på en lösning i mer än hundra år.

8. Icosahedron från REKO block. Blixtreflektorer visar vad ikosaedern har gemensamt med en triangel och en femhörning. Fem trianglar möts vid varje hörn.

Detta hände från ett oväntat håll. 1976 skrev en grupp amerikanska matematiker ett program för att lösa detta problem (och de bestämde sig: ja, fyra färger kommer alltid att räcka). Detta var det första beviset på ett matematiskt faktum som erhölls med hjälp av en "matematisk maskin" - som en dator kallades för ett halvt sekel sedan (och ännu tidigare: en "elektronisk hjärna").

Här är en speciellt visad "karta över Europa" (fikon. 9). De länder som delar en gemensam gräns är anslutna. Att färglägga en karta är detsamma som att färga cirklarna i den grafen (kallas en graf) så att inga sammankopplade cirklar har samma färg. En titt på Liechtenstein, Belgien, Frankrike och Tyskland visar att tre färger inte räcker. Om du vill, läsare, färglägg den i fyra färger.

9. Vem gränsar till vem i Europa?

Jo, men är det värt skattebetalarnas pengar? Så låt oss titta på samma graf lite annorlunda. Låt oss glömma att det finns stater och gränser. Låt cirklarna symbolisera informationspaket som ska skickas från en punkt till en annan (till exempel från P till EST), och segmenten representerar möjliga anslutningar, som var och en har sin egen genomströmning. Skicka så snabbt som möjligt?

Låt oss först titta på en mycket förenklad, men också mycket intressant ur en matematisk synvinkel, situation. Vi måste skicka något från punkt S (=som start) till punkt M (=slut) med hjälp av ett nätverk av anslutningar med samma bandbredd, säg 1. Vi ser detta i fikon. 10.

10. Nätverk av anslutningar från Stacyjka Zdroj till Megapolis.

Låt oss föreställa oss att cirka 89 bitar av information måste skickas från S till M. Författaren till dessa ord gillar tågproblem, så han föreställer sig att han är chef på Stacie Zdroj, varifrån han måste skicka 144 vagnar. till Megapolis station. Varför 144? Eftersom, som vi kommer att se, kommer detta att användas för att beräkna genomströmningen av hela nätverket. Kapaciteten är 1 på varje plats, d.v.s. En bil kan resa per tidsenhet (en informationsbit, eventuellt även en Gigabyte).

Låt oss se till att alla bilar möts samtidigt i M. Alla kommer dit i 89 tidsenheter. Om jag har ett mycket viktigt S till M-informationspaket att skicka, delar jag upp det i grupper om 144 enheter och trycker på det enligt ovan. Matematiken garanterar att detta kommer att vara snabbast. Hur visste jag att du behövde 89? Jag gissade det faktiskt, men om jag inte hade gissat det hade jag behövt lista ut det Kirchhoffs ekvation (kommer någon ihåg? - det här är ekvationer som beskriver strömflödet). Nätverkets bandbredd är 184/89, vilket är ungefär lika med 1,62.

Om glädje

Jag gillar förresten nummer 144. Jag älskade att ta bussen med detta nummer till Slottstorget i Warszawa – när det inte fanns något restaurerat kungligt slott i närheten. Kanske vet unga läsare vad ett dussin är. Det här är 12 exemplar, men bara äldre läsare kommer ihåg att det finns ett dussintal, d.v.s. 122=144, detta är de så kallade många. Och alla som kan matematik lite mer än från skolans läroplan kommer genast att förstå det fikon. 10 vi har Fibonacci-nummer och att nätverkets genomströmning är nära det "gyllene numret"

I Fibonacci-sekvensen är 144 det enda tal som är en perfekt kvadrat. Hundrafyrtiofyra är också ett "glädjetal". Så här är en indisk amatörmatematiker Dattatreya Ramachandra Kaprekar 1955 namngav han tal som är delbara med summan av deras ingående siffror:

Om han bara visste detta Adam Mickiewicz, han skulle säkert ha skrivit nej i Dzyady: ”Från en främmande mor; hans blod är hans gamla hjältar / Och hans namn är fyrtiofyra, bara mer elegant: Och hans namn är etthundrafyrtiofyra.

Ta roligt på allvar

Jag hoppas att jag har övertygat läsarna om att Sudoku-pussel är en underhållande sida av saker som definitivt förtjänar att tas på allvar. Jag kan inte utveckla detta ämne ytterligare. Åh, beräkning av full nätverksbandbredd från diagrammet som tillhandahålls på fikon. 9 att skriva ett ekvationssystem skulle ta två eller fler timmar - kanske till och med tiotals sekunder (!) av datorarbete.