Res in i matematikens overkliga värld

Jag skrev den här artikeln en onsdag efter en föreläsning och praktik på en datavetenskapshögskola. Jag försvarar mig från kritik av eleverna på denna skola, deras kunskaper, inställning till naturvetenskap och viktigast av allt: inlärningsförmåga. Det här... ingen lär dem.

Varför är jag så defensiv? Av en enkel anledning - jag är i en ålder då, förmodligen, världen omkring oss ännu inte är förstådd. Jag kanske lär dem att sela och ta av hästar, och att inte köra bil? Kanske jag lär dem att skriva med en fjäderpenna? Även om jag har en bättre uppfattning om en person, anser jag mig själv "följa", men...

Tills nyligen, på gymnasiet, pratade man om komplexa tal. Och det var i onsdags som jag kom hem, slutade - nästan ingen av eleverna har ännu lärt mig vad det är och hur man använder dessa siffror. Vissa ser på all matematik som en gås vid en målad dörr. Men jag blev också uppriktigt förvånad när de berättade för mig hur man lär sig. Enkelt uttryckt är varje timme av en föreläsning två timmars läxor: läsa en lärobok, lära sig att lösa problem om ett givet ämne, etc. Efter att ha förberett oss på det här sättet kommer vi till övningarna, där vi förbättrar allt ... Glädjande nog trodde eleverna tydligen att det att sitta på föreläsningen - oftast tittar ut genom fönstret - redan garanterar kunskapens inträde i huvudet.

Sluta! Det räcker. Jag kommer att beskriva mitt svar på en fråga som jag fick under en klass med stipendiater från Nationella barnfonden, en institution som stödjer duktiga barn från hela landet. Frågan (eller snarare förslaget) var:

— Kan du berätta något om overkliga siffror?

"Självklart", svarade jag. 

Siffrornas verklighet

"En vän är ett annat jag, vänskap är förhållandet mellan siffrorna 220 och 284," sa Pythagoras. Poängen här är att summan av divisorerna för talet 220 är lika med 284, och summan av divisorerna för talet 284 är lika med 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Notera förresten att den bibliska Jakob gav Esau 220 får och baggar som ett tecken på vänskap (32 Mos 14:XNUMX).

Ett annat intressant sammanträffande mellan talen 220 och 284 är detta: de sjutton högsta primtalen är 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , och 59.

Deras summa är 2x220, och summan av kvadraterna är 59x284.

Först. Det finns inget begrepp om "riktigt tal". Det är som att du efter att ha läst en artikel om elefanter frågar: "Nu ska vi fråga efter icke-elefanter." Det finns hela och icke-hela, rationella och irrationella, men det finns inga overkliga. Specifikt: siffror som inte är verkliga kallas inte ogiltiga. Det finns många typer av "siffror" i matematik, och de är lika olika från varandra som - för att ta en zoologisk jämförelse - en elefant och en daggmask.

För det andra kommer vi att utföra operationer som du kanske redan vet är förbjudna: extrahera kvadratrötterna av negativa tal. Tja, matematik kommer att övervinna sådana barriärer. Är det vettigt ändå? Inom matematik, som i all annan vetenskap, beror huruvida en teori för evigt kommer in i kunskapsförrådet ... på dess tillämpning. Om den är värdelös, så hamnar den i papperskorgen, sedan i något skräp av kunskapshistorien. Utan siffrorna som jag pratar om i slutet av den här artikeln är det omöjligt att utveckla matematik. Men låt oss börja med några små saker. Vad är reella siffror, du vet. De fyller tallinjen tätt och utan luckor. Du vet också vad naturliga tal är: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - alla kommer inte att passa in minne även det största. De har också ett vackert namn: naturligt. De har så många intressanta egenskaper. Hur gillar du det här:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

”Det är naturligt att intressera sig för de naturliga talen”, sa Carl Lindenholm, och Leopold Kronecker (1823–1891) uttryckte det kortfattat: ”Gud skapade de naturliga talen – allt annat är människans verk!” Bråk (som kallas rationella tal av matematiker) har också fantastiska egenskaper:

och i jämställdhet:

du kan, med början från vänster sida, gnugga plusen och ersätta dem med multiplikationstecken - och likheten kommer att förbli sann:

Och så vidare.

Som bekant, för bråk a/b, där a och b är heltal och b ≠ 0, säger de rationellt tal. Men det kallar de sig bara för på polska. De talar engelska, franska, tyska och ryska. rationellt tal. På engelska: rationella tal. Irrationella siffror Det är irrationellt, irrationellt. Vi talar också på polska om irrationella teorier, idéer och handlingar - detta är galenskap, inbillat, oförklarligt. De säger att kvinnor är rädda för möss – hur irrationellt är det?

I forna tider hade siffror en själ. Var och en betydde något, var och en symboliserade något, var och en reflekterade en partikel av den harmonin i universum, det vill säga på grekiska, kosmos. Själva ordet "kosmos" betyder "ordning, ordning". De viktigaste var sex (det perfekta talet) och tio, summan av de på varandra följande talen 1+2+3+4, uppbyggda av andra tal, vars symbolik har överlevt till denna dag. Så Pythagoras lärde ut att siffror är början och källan till allt, och bara upptäckten irrationella tal vände den pythagoriska rörelsen mot geometri. Vi känner till resonemanget från skolan som

√2 - irrationellt tal

För anta att det finns: och att denna bråkdel inte kan reduceras. I synnerhet är både p och q udda. Låt oss kvadrera det: 2q²=p². Talet p kan inte vara udda, eftersom p² skulle också vara det, och på vänster sida av likheten finns en multipel av 2. Därför är p jämnt, dvs p = 2r, därav p²= 4r². Vi reducerar ekvationen 2q²= 4r² av 2. Vi får q²= 2r² och vi ser att q också måste vara jämnt, och vi antog att det inte var det. Den resulterande motsägelsen fullbordar beviset - denna formel finns ofta i varje matematisk bok. Detta omständighetsbevis är sofisternas favorittrick.

Denna ofantlighet kunde inte pytagoreerna förstå. Allt måste kunna beskrivas med siffror, och diagonalen på en kvadrat, som vem som helst kan rita med en pinne i sanden, har ingen, det vill säga mätbar, längd. "Vår tro var förgäves", tycks pytagoreerna säga. Hur så? Det är typ... irrationellt. Unionen försökte rädda sig själv med sekteriska metoder. Alla som vågar avslöja sin existens irrationella tal, skulle straffas med döden, och uppenbarligen verkställdes den första domen av mästaren själv.

Men "tanken gick oskadd." Guldåldern har kommit. Grekerna besegrade perserna (Marathon 490, Plache 479). Demokratin stärktes, nya centra för filosofiskt tänkande och nya skolor växte fram. Anhängarna av pytagoreanismen kämpade fortfarande med irrationella siffror. Några predikade: vi kommer inte att förstå detta mysterium; vi kan bara begrunda det och beundra Uncharted. De senare var mer pragmatiska och respekterade inte hemligheten. Vid den tiden dök två mentala konstruktioner upp som gjorde det möjligt att förstå irrationella tal. Det faktum att vi idag förstår dem ganska väl tillhör Eudoxus (XNUMX-talet f.Kr.), och först i slutet av XNUMX-talet gav den tyske matematikern Richard Dedekind Eudoxus teori vederbörlig utveckling i enlighet med kraven på strikt matematisk logik.

Många siffror eller tortyr

Skulle du kunna leva utan siffror? Även om vad livet skulle vara... Vi skulle behöva gå till affären för att köpa skor med en pinne, som vi tidigare mätte fotens längd. "Jag skulle vilja ha äpplen, ah, här är det!" – vi skulle visa säljare på marknaden. "Hur långt är det från Modlin till Nowy Dwur Mazowiecki"? "Ganska nära!"

Siffror används för att mäta. Med deras hjälp uttrycker vi också många andra begrepp. Till exempel visar kartans skala hur mycket landets yta har minskat. En två-till-en skala, eller helt enkelt 2, uttrycker det faktum att något har fördubblats i storlek. Låt oss säga matematiskt: varje homogenitet motsvarar ett tal - dess skala.

uppgift. Vi gjorde en xerografisk kopia och förstorade bilden flera gånger. Sedan ökades det förstorade fragmentet igen b gånger. Vad är den allmänna förstoringsskalan? Svar: a × b multiplicerat med b. Dessa skalor måste multipliceras. Siffran minus ett, -1, motsvarar en precision som är centrerad, det vill säga en rotation på 180 grader. Vilket nummer motsvarar en 90 graders rotation? Det finns inget sådant nummer. Det är, det är... eller snarare, det kommer att bli snart. Är du redo för mental tortyr? Var modig och ta kvadratroten ur minus ett. Jag lyssnar på? Vad kan du inte göra? Trots allt sa jag till dig att vara modig. Dra ut det! Hej, ja, dra, dra... Jag hjälper till... Här: −1 Nu när vi har det, låt oss försöka använda det... Naturligtvis, nu kan vi ta rötterna till alla negativa tal, för exempel.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

"Oavsett vilken mental ångest det innebär." Detta är vad Girolamo Cardano skrev 1539, i ett försök att övervinna de mentala svårigheterna i samband med - som det snart kom att kallas - imaginära mängder. Han tänkte så här...

.uppgift. Dela 10 i två delar, vars produkt är 40. Jag minns att han från föregående avsnitt skrev ungefär så här: Visst omöjligt. Men låt oss göra så här: dela 10 i två lika delar, var och en lika med 5. Multiplicera dem - det blev 25. Från de resulterande 25, subtrahera nu 40, om du vill, och du får -15. Titta nu: √-15 adderad och subtraherad från 5 ger dig produkten av 40. Dessa är talen 5-√-15 och 5 + √-15. Verifieringen av resultatet utfördes av Cardano enligt följande:

"Oavsett vilken hjärtesorg det innebär, multiplicera 5 + √-15 med 5-√-15. Vi får 25 - (-15), vilket är lika med 25 + 15. Så produkten är 40 .... Det är verkligen svårt."

Tja, hur mycket är det: (1 + √-1) (1-√-1)? Låt oss multiplicera. Kom ihåg att √-1 × √-1 = -1. Bra. Nu ett svårare problem: från a + b√-1 till ab√-1. Vad hände? Naturligtvis så här: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Vad är så intressant med detta? Till exempel det faktum att vi kan faktorisera uttryck som vi "inte visste innan." Förkortad multiplikationsformel för²-b² kommer du säkert ihåg formeln för²+b² det hände inte för det kunde inte hända. I domänen av reella tal, polynomet²+b² detta är oundvikligt. Låt oss beteckna "vår" kvadratroten av "minus ett" med bokstaven i.²= -1. Detta är ett "overkligt" primtal. Och det här är vad som beskriver ett plan som svänger 90 grader. Varför? Trots allt,²= -1, och att kombinera en 90-graders rotation och en annan 180-graders rotation ger en 45-graders rotation. Vilken typ av rotation beskrivs? Uppenbarligen en XNUMX graders sväng. Vad betyder -jag? Det är lite mer komplicerat:

(-jag)² = -i × (-i) = + i² = -1

Så -i beskriver också en 90 graders rotation, precis i motsatt riktning mot i:s rotation. Vilken är vänster och vilken är höger? Du måste boka tid. Vi antar att talet i anger rotation i den riktning som matematiker anser vara positiv: moturs. Siffran -i beskriver rotation i den riktning som pekarna rör sig.

Men finns det sådana siffror som i och -i? Är! Vi väckte dem helt enkelt till liv. Jag lyssnar på? Att de bara finns i våra huvuden? Vad kan man förvänta sig? Alla andra siffror finns också bara i vårt sinne. Vi måste se om vårt antal nyfödda kommer att överleva. Mer exakt, är designen logisk och kommer de att vara användbara för något? Vänligen ta mitt ord för det att allt är bra och att dessa nya siffror verkligen är användbara. Tal som 3+i, 5-7i, i en mer allmän form: a+bi kallas komplexa tal. Jag visade dig hur du kan få dem genom att rotera planet. De kan matas in på olika sätt: som punkter i ett plan, som vissa polynom, som vissa numeriska matriser... och varje gång är de lika: ekvation x² +1=0 det finns inget element... hokus pokus finns redan!!!! Låt oss jubla och jubla!!!

Slut på turnén

Detta avslutar vår första rundtur i landet av falska siffror. Av de andra ojordiska talen kommer jag också att nämna de som har oändligt många siffror framför och inte bakom (de kallas 10-adic, för oss är p-adic viktigare, där p är ett primtal), till exempel X = ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

Låt oss räkna X tack². Därför att? Vad händer om vi beräknar kvadraten på ett tal som har ett oändligt antal siffror bakom sig? Nåväl, låt oss göra detsamma. Låt oss ta reda på att X² = H.

Låt oss hitta ett annat sådant tal med ett oändligt antal siffror framför som uppfyller ekvationen. Tips: Kvadraten på ett tal som slutar på sex slutar också på sex. Kvadraten på ett tal som slutar på 76 slutar också på 76. Kvadraten på ett tal som slutar på 376 slutar också på 376. Kvadraten på ett tal som slutar på 9376 slutar också på 9376. Kvadraten på ett tal som slutar på XNUMX... Det finns också tal som är så små att de, även om de är positiva, förblir mindre än något annat positivt tal. De är så små att det ibland räcker med att kvadrera dem för att få noll. Det finns tal som inte uppfyller villkoret a × b = b × a. Det finns också oändliga siffror. Hur många naturliga tal finns det? Oändligt många? Ja, men hur mycket? Vilket nummer kan detta uttryckas i? Svar: det minsta av oändliga tal; den är markerad med en vacker bokstav: A och kompletterad med ett nollindex A₀ , alef-noll.

Det finns också siffror som vi inte vet existerar... eller som vi kan tro eller inte tro på som du vill. Och på tal om det: Jag hoppas att du fortfarande gillar Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.