Ny maskin matematik? Eleganta mönster och hjälplöshet

Enligt vissa experter kan maskiner uppfinna eller, om man så vill, upptäcka helt ny matematik som vi människor aldrig har sett eller uppfunnit. Andra hävdar att maskiner inte uppfinner något på egen hand, de kan bara representera formler vi känner till på ett annat sätt, och de kan inte alls klara av vissa matematiska problem.

Nyligen presenterade en grupp forskare från Technion Institute i Israel och Google automatiserat system för att skapa teoremsom de döpte till Ramanujan-maskinen efter matematikern Srinivasi Ramanujansom utvecklat tusentals innovativa formler inom talteori med liten eller ingen formell utbildning. Det system som forskarna utvecklade gjorde om ett antal ursprungliga och viktiga formler till universella konstanter som förekommer i matematik. Arbetet med detta ämne publicerades i tidskriften Nature.

En av de maskingenererade formlerna kan användas för att beräkna värdet på en universell konstant som kallas Katalanska nummer, effektivare än att använda tidigare kända formler som upptäckts av människan. Men det hävdar forskare Ramanujans bil det är inte tänkt att ta matematik ifrån människor, utan snarare att erbjuda hjälp till matematiker. Det betyder dock inte att deras system saknar ambition. Som de skriver försöker Maskinen "efterlikna de stora matematikernas matematiska intuition och ge ledtrådar för ytterligare matematiska sökningar."

Systemet gör gissningar om värdena för universella konstanter (såsom) skrivna i eleganta formler som kallas fortsatta bråk eller fortsatta bråk (1). Detta är namnet på sättet att uttrycka ett reellt tal som ett bråk i en speciell form eller gränsen för sådana bråk. En fortsatt bråkdel kan vara finit eller ha oändligt många kvoter_i/b_i; fraktion A_k/B_k erhålls genom att kassera partiella kvoter i en fortsatt bråkdel, med början från (k + 1):e, kallas k:te reduktionen och kan beräknas med formlerna:_-1=1.A₀=b₀, B_-1=0.V₀=1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2, B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; om sekvensen av redukter konvergerar till en ändlig gräns, kallas den fortsatta fraktionen konvergent, annars är den divergent; Ett fortsatt bråk kallas en aritmetisk om_i=1, sid₀ avslutat, b_i (i>0) – naturlig; aritmetisk fortsatt fraktion konvergerar; varje reellt tal expanderar till en fortsatt aritmetisk bråkdel, som är ändlig endast för rationella tal.

1. Ett exempel på att skriva Pi som ett fortsatt bråk

Algoritm för Ramanujan-maskinen väljer alla universella konstanter för vänster sida och eventuella fortsatta bråk för höger sida, och beräknar sedan varje sida separat med viss precision. Om båda sidor verkar överlappa, beräknas kvantiteterna med större precision för att säkerställa att matchningen inte är en slump eller en oprecision. Vad som är viktigt är att det redan finns formler som gör att du kan beräkna värdet på universella konstanter, till exempel med vilken noggrannhet som helst, så det enda hindret för att kontrollera sidornas överensstämmelse är beräkningstiden.

Innan de implementerade sådana algoritmer var matematiker tvungna att använda en befintlig. matematisk kunskap i satsergöra ett sådant antagande. Tack vare de automatiska gissningar som genereras av algoritmer kan matematiker använda dem för att rekonstruera dolda satser eller mer "eleganta" resultat.

Forskarnas mest anmärkningsvärda upptäckt är inte så mycket ny kunskap som det är ett nytt antagande av överraskande betydelse. Det här tillåter beräkning av den katalanska konstanten, en universell konstant vars värde behövs i många matematiska problem. Att uttrycka det som en fortsatt bråkdel under ett nyupptäckt antagande möjliggör de snabbaste beräkningarna hittills, vilket besegrar tidigare formler som krävde mer datorbehandlingstid. Detta verkar markera en ny punkt för framsteg för datavetenskap, jämfört med den tid då datorer först slog schackspelare.

Vad AI inte kan hantera

Maskinalgoritmer Som du kan se hanterar de vissa saker på ett innovativt och effektivt sätt. Inför andra problem är de hjälplösa. Ett team av forskare från University of Waterloo i Kanada upptäckte en klass av problem med att använda maskininlärning. Upptäckten är förknippad med en paradox som beskrevs i mitten av förra seklet av den österrikiske matematikern Kurt Gödel.

Matematikern Shai Ben-David och hans team presenterade en maskininlärningsmodell som kallas maximal prediction (EMX) i en publikation i tidskriften Nature. En till synes enkel uppgift visade sig vara omöjlig för artificiell intelligens. Problem från laget Shai Ben-David handlar om att förutsäga den mest lönsamma reklamkampanjen riktad till de läsare som oftast besöker sajten. Antalet möjligheter är så stort att ett neuralt nätverk inte kan hitta en funktion som korrekt kommer att förutsäga webbplatsanvändarnas beteende, och har endast ett litet urval av data till sitt förfogande.

Det visar sig att några av de problem som neurala nätverk utgör är likvärdiga med kontinuumhypotesen som ställts av Georg Cantor. Den tyske matematikern bevisade att styrkan hos mängden naturliga tal är mindre än styrkan hos mängden reella tal. Sedan ställde han en fråga som han inte kunde svara på. Han undrade nämligen om det finns en oändlig mängd vars kardinalitet är mindre än kardinaliteten uppsättning reella talmen mer kraft uppsättning naturliga tal.

Österrikisk matematiker av XNUMXth århundradet. Kurt Gödel bevisat att kontinuumhypotesen är obestämbar i det nuvarande matematiska systemet. Nu visar det sig att matematiker som designar neurala nätverk står inför ett liknande problem.

Så även om den är osynlig för oss, som vi ser, är den hjälplös inför grundläggande begränsningar. Forskare undrar om med problem av denna klass, såsom oändliga mängder, till exempel.