Coronavirus och matematikutbildning – Delvis beställda samlingar

Viruset som har drabbat oss driver snabba utbildningsreformer. särskilt på högre utbildningsnivåer. Om detta ämne kan du skriva en längre uppsats, det kommer säkert att finnas en ström av doktorsavhandlingar om metodiken för distansundervisning. Ur en viss synvinkel är detta en återgång till rötterna och till självstudiernas bortglömda vanor. Så var det till exempel i Kremenets gymnasieskola (i Kremenets, nu i Ukraina, som fanns 1805-31, växte fram till 1914 och upplevde sin storhetstid 1922-1939). Eleverna studerade där på egen hand – först efter att de lärt sig kom lärarna in med rättelser, sista förtydliganden, hjälp på svåra platser osv. e. När jag blev student sa de också att vi själva skulle skaffa kunskap, att bara beställa och skicka klasser till universitetet. Men då var det bara en teori...

Under våren 2020 är jag inte den enda som upptäckte att lektioner (inklusive föreläsningar, övningar, etc.) kan genomföras mycket effektivt på distans (Google Meet, Microsoft Teams, etc.), till priset av mycket arbete från lärarens sida och bara en önskan om "få en utbildning" å andra sidan; men också med viss tröst: jag sitter hemma, i min stol, och på traditionella föreläsningar gjorde studenterna också ofta något annat. Effekten av sådan träning kan bli ännu bättre än med det traditionella, med anor från medeltiden, klass-lektionssystem. Vad blir kvar av honom när viruset går åt helvete? Jag tror... ganska mycket. Men vi får se.

Idag ska jag prata om delbeställda set. Det är enkelt. Eftersom en binär relation i en icke-tom mängd kallas X för en partiell ordningsrelation när det finns

(Tadeusz Kotarbinski, 1886-1981, filosof,

ordförande för den polska vetenskapsakademin 1957–1962).

1. Reflexiv, d.v.s. för varje ∈ finns ",
2. Förbipasserande, d.v.s. om ", och ", sedan ",
3. Semi-asymmetrisk, dvs («∧«)→ =

En sträng är en uppsättning med följande egenskap: för alla två element är denna uppsättning antingen "eller y". Antikedja är...

Stopp stopp! Kan något av detta förstås? Så klart det är. Men har någon av läsarna (som vet annat) redan förstått vad som står här?

Jag tror inte! Och detta är kanonen för att lära ut matematik. Även i skolan. Först en anständig, strikt definition, och sedan kommer de som inte somnade av tristess definitivt att förstå något. Denna metod påtvingades av de "stora" lärarna i matematik. Han måste vara försiktig och strikt. Det är sant att det är så det ska vara i slutändan. Matematik måste vara en exakt vetenskap (se även: ).

Jag måste erkänna att jag undervisade i så många år på universitetet där jag arbetar efter att ha gått i pension från Warszawas universitet. Bara i den fanns den beryktade hinken med kallt vatten (låt det förbli så: det behövdes en hink!). Plötsligt blev hög abstraktion lätt och behaglig. Sätt uppmärksamhet: lätt betyder inte lätt. Den lätta boxaren har också svårt.

Jag ler åt mina minnen. Jag fick lära mig grunderna i matematik av dåvarande dekanus vid institutionen, en förstklassig matematiker som precis hade kommit från en lång vistelse i USA, vilket på den tiden var något extraordinärt i sig. Jag tror att hon var lite snobbig när hon glömde polska lite. Hon missbrukade det gamla polska "vad", "därför", "azalea" och myntade termen: "semi-asymmetrisk relation". Jag älskar att använda den, den är verkligen exakt. Jag gillar. Men jag kräver inte detta av eleverna. Detta kallas vanligtvis "låg antisymmetri". Tio vackra.

För länge sedan, för på sjuttiotalet (av förra seklet) skedde en stor, glädjefull reform av matematikundervisningen. Detta sammanföll med början av den korta perioden av Eduard Giereks regeringstid - en viss öppning av vårt land för världen. "Barn kan också läras ut högre matematik", utropade de stora lärarna. En sammanfattning av universitetsföreläsningen "Fundamentals of Mathematics" sammanställdes för barn. Detta var en trend inte bara i Polen utan i hela Europa. Det räckte inte att lösa ekvationen, utan varje detalj måste förklaras. För att inte vara ogrundad kan var och en av läsarna lösa ekvationssystemet:

men eleverna var tvungna att motivera varje steg, hänvisa till relevanta påståenden etc. Detta var ett klassiskt överskott av form framför innehåll. Det är lätt för mig att kritisera nu. Jag har också en gång varit en anhängare av detta tillvägagångssätt. Det är spännande... för unga människor som brinner för matematik. Detta var naturligtvis (och, för uppmärksamhetens skull, jag).

Men nog med utvikning, låt oss komma ner till saken: en föreläsning som "teoretiskt" var avsedd för andra år på Yrkeshögskolan och som skulle ha varit torr som kokosflingor om inte för henne. Jag överdriver lite...

God morgon för dig. Dagens ämne är delstädning. Nej, det här är inte en antydan till slarvig rengöring. Den bästa jämförelsen skulle vara att överväga vilket som är bättre: tomatsoppa eller gräddkaka. Svaret är klart: beroende på vad. Till efterrätt - kakor, och för en näringsrik maträtt: soppa.

I matematiken sysslar vi med siffror. De är ordnade: de är större och färre, men av två olika nummer är den ena alltid mindre, vilket betyder att den andra är större. De är ordnade i ordning, som bokstäverna i alfabetet. I klassdagboken kan ordningen vara följande: Adamchik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (de är vänner och klasskamrater från min klass!). Vi tvivlar inte heller på att Matusyak "Matushelyansky" Matushevsky "Matisyak. Symbolen för "dubbel ojämlikhet" har betydelsen "före".

I min reseklubb försöker vi göra listorna alfabetiska, men vid namn till exempel Alina Wrońska "Warvara Kaczarska", Cesar Bouschitz etc. I officiella register skulle ordningen vara omvänd. Matematiker hänvisar till alfabetisk ordning som lexikografisk (ett lexikon är mer eller mindre som en ordbok). Å andra sidan är en sådan ordning, i vilken vi i ett namn bestående av två delar (Michal Shurek, Alina Wronska, Stanislav Smazhinsky) först tittar på den andra delen, en antilexikografisk ordning för matematiker. Långa titlar, men väldigt enkelt innehåll.

1. Linjär ordning: stationer och hållplatser på Habovka-Zakopane-järnvägen från Podhale, byggd 1899 (jag lämnar avkodningen av förkortningarna till läsaren).

Alla sådana order kallas linjeorder. Vi beställer i tur och ordning: första, andra, tredje. Allt är i sin ordning, från den första punkten till den sista. Det är inte alltid vettigt. Vi ordnar trots allt böcker på biblioteket inte så här, utan i sektioner. Endast inne på avdelningen ordnar vi linjärt (oftast alfabetiskt).

2. Linjär ordning: vid start av bilmotorn utför vi åtgärder i en konsekvent ordning.

Med större projekt, speciellt inom teamarbete, har vi inte längre en linjär ordning. Låt oss titta på fikon. 3. Vi vill bygga ett litet hotell. Vi har redan pengar (cell 0). Vi upprättar tillstånd, samlar in material, startar byggnationen och genomför samtidigt en annonskampanj, söker medarbetare osv och så vidare. När vi når "10" kan de första gästerna checka in (ett exempel från berättelserna om Mr. Dombrowski och deras lilla hotell i Krakows förorter). Vi har icke-linjär ordning – Vissa saker kan hända parallellt.

I ekonomi kommer du att lära dig om begreppet den kritiska vägen. Detta är uppsättningen av åtgärder som måste utföras sekventiellt (och detta kallas en kedja i matematik, mer om det på ett ögonblick), och som tar mest tid. Att minska byggtiden är en omorganisation av den kritiska vägen. Men mer om detta i andra föreläsningar (jag påminner om att jag läser en ”universitetsföreläsning”). Vi fokuserar på matematik.

Diagram som figur 3 kallas Hasse-diagram (Helmut Hasse, tysk matematiker, 1898–1979). Varje komplex insats måste planeras på detta sätt. Vi ser sekvenser av åtgärder: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematiker kallar dem strängar. Hela idén består av fyra kedjor. Däremot är aktivitetsgrupperna 1-2-3-4, 5-6-7 och 8-9 antikedjor. Här är vad de heter. Faktum är att i en viss grupp beror ingen av åtgärderna på den föregående.

4. Detta är också ett Hasse-diagram.

låt oss gå till bild 4. Vad är imponerande? Men det kan vara en tunnelbanekarta i någon stad! Underjordiska järnvägar är alltid grupperade i rader - de går inte från en till en annan. Linjer är separata rader. I staden Fig. 4 är ugn linje (kom ihåg det ugn det skrivs "boldem" - på polska kallas det halvtjockt).

I detta diagram (fig. 4) finns en kort gul ABF, en sexstations ACFPS, en grön ADGL, en blå DGMRT och den längsta röda. Matematikern kommer att säga: detta Hasse-diagram har ugn kedjor. Det är på den röda linjen sju station: AEINRUW. Hur är det med antikedjor? Det finns de sju. Läsaren har redan märkt att jag dubbelstrukit ordet sju.

Antikedja det här är en sådan uppsättning stationer att det är omöjligt att ta sig från en av dem till en annan utan en överföring. När vi "förstår" lite kommer vi att se följande antikedjor: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​​​SR. Kontrollera till exempel att det inte är möjligt att resa från någon av BCLTV-stationerna till en annan BCTLV utan förändring, mer exakt: utan att behöva återvända till stationen som visas nedan. Hur många antikedjor finns det? sju. Vilken storlek är den största? Baka (igen i fetstil).

Ni kan föreställa er, elever, att sammanträffandet av dessa siffror inte är tillfälligt. Detta. Detta upptäcktes och bevisades (dvs alltid så) 1950 av Robert Palmer Dilworth (1914–1993, amerikansk matematiker). Antalet rader som behövs för att täcka hela uppsättningen är lika med storleken på den största antikedjan och vice versa: antalet antikedjor är lika med längden på den längsta antikedjan. Så är alltid fallet i ett delvis beställt set, d.v.s. en som kan visualiseras. Hassego diagram. Detta är inte en strikt och korrekt definition. Detta är vad matematiker kallar en "arbetsdefinition". Detta skiljer sig något från "arbetsdefinitionen". Det här är ett tips om hur man förstår delvis ordnade uppsättningar. Detta är en viktig del av all träning: se hur det fungerar.

Den engelska förkortningen är - detta ord låter vackert på slaviska språk, lite som en tistel. Observera att tisteln också är grenad.

Mycket trevligt, men vem behöver det? Ni, kära studenter, behöver det för att klara provet, och detta är förmodligen ett tillräckligt bra skäl för att studera det. Jag lyssnar, vilka frågor? Jag lyssnar, herre under fönstret. Åh, frågan är, kommer detta någonsin att vara användbart för Herren i ditt liv? Kanske inte, men för någon smartare än dig, förvisso... Kanske för kritisk väganalys i ett komplext ekonomiskt projekt?

Jag skriver den här texten i mitten av juni, valet av rektor pågår vid universitetet i Warszawa. Jag har läst flera kommentarer från Internetanvändare. Det finns en överraskande mängd hat (eller "hat") mot "utbildade människor". Någon skrev rakt ut att personer med högskoleutbildning vet mindre än de med högskoleutbildning. Jag kommer givetvis inte att gå in i diskussionen. Jag är bara ledsen över att den etablerade uppfattningen i den polska folkrepubliken återkommer att allt kan göras med hammare och mejsel. Jag återvänder till matematiken.

Dillworths teorem har flera intressanta användningsområden. En av dem är känd som äktenskapsteoremet.fikon. 6). 

Det finns en grupp kvinnor (snarare tjejer) och en lite större grupp män. Varje tjej tänker ungefär så här: "Jag skulle kunna gifta mig med den här, för en annan, men aldrig i mitt liv för en tredje." Och så vidare, alla har sina egna preferenser. Vi ritar ett diagram som leder till var och en av dem en pil från killen som han inte avvisar som en kandidat för altaret. F: Kan par matchas så att var och en hittar en man som hon accepterar?

Philip Halls teorem, säger att detta kan göras - under vissa förutsättningar, vilket jag inte kommer att diskutera här (då vid nästa föreläsning, studenter, tack). Observera dock att manlig tillfredsställelse inte alls nämns här. Som ni vet är det kvinnor som väljer oss, och inte tvärtom, som det verkar för oss (jag påminner om att jag är författare, inte författare).

Lite seriös matematik. Hur följer Halls teorem från Dilworth? Det är väldigt enkelt. Låt oss titta på figur 6 igen. Kedjorna där är mycket korta: de har en längd på 2 (löper i riktningen). En uppsättning små män är en antikedja (precis för att pilarna bara är mot). Således kan du täcka hela kollektionen med lika många antikedjor som det finns män. Så varje kvinna kommer att ha en pil. Och det betyder att hon kan verka som killen hon accepterar!!!

Vänta, frågar någon, är det allt? Är allt app? Hormoner kommer på något sätt överens och varför matematik? För det första är detta inte hela applikationen, utan bara en i en stor serie. Låt oss titta på en av dem. Låt (Fig. 6) mena inte representanter för det bättre könet, utan snarare prosaiska köpare, och dessa är märken, till exempel bilar, tvättmaskiner, viktminskningsprodukter, resebyråerbjudanden etc. Varje köpare har märken som han accepterar och avvisar. Kan man göra något för att sälja något till alla och hur? Det är här inte bara skämten slutar, utan också kunskapen hos författaren till artikeln om detta ämne. Allt jag vet är att analysen bygger på ganska komplex matematik.

Att undervisa i matematik i skolan är att lära ut algoritmer. Detta är en viktig del av lärandet. Men sakta går vi mot att lära oss inte så mycket matematik som den matematiska metoden. Dagens föreläsning handlade just om detta: vi pratar om abstrakta mentala konstruktioner, vi tänker på vardagen. Vi pratar om kedjor och antikedjor i set med omvända, transitiva och andra relationer som vi använder i säljare-köparmodellerna. Datorn kommer att göra alla beräkningar åt oss. Han kommer inte att skapa matematiska modeller ännu. Vi vinner fortfarande med vårt tänkande. Hur som helst, förhoppningsvis så länge som möjligt!