Hur kan man lura, manipulera och presentera sig själv i ett gynnsamt ljus i matematikens storhet?

I början av november 2020 hänvisade Mateusz Morawiecki till matematiker från Center for Mathematical Modeling att de visade att Women's Strike orsakade en ökning av infektioner med 5000 XNUMX. Jag har vänner i detta center - de fick bara veta att de hade förutspått detta från en tal av herr - till Mateusz.

Jag vill understryka att jag, kanske i motsats till rubriken på artikeln, varken kommer att berömma eller kritisera den nuvarande statsministern. jag tror det matematik är inte hans starka sida, men en sådan intellektuell brist kommer inte att väcka invändningar från de flesta av er. Och i allmänhet, skulle inte en stor matematiker ha en ansvarsfull position, men inte klok i livet och politiken? Jag kommer också att nämna att Donald Tusk i sin tidigare presidentkampanj sa (som på skämt): "du kan inte skriva matteprov utan att ladda ner." Du vet, matematikmolnet är din man, precis som jag. Julian Tuwim var snobbig om sin okunskap om matematik. Och de kallade mig till styrelsen. Jag ska bara notera att vi hade premiär i matematik i Polen. Det var (fem gånger) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor för Lviv Polytechnic, en utmärkt geometer. Jag kan inte och försöker inte döma hans regeringstid.

Att torka munnen är mångsidigt och gammalt. Böcker, tunna och tjocka, har skrivits om det. Det finns många sätt, jag kommer att prata om några, jag börjar med de som är sydda med tjocka trådar. Kanske fanns det förr i tiden ännu fler sådana metoder, för i den monumentala och första i sitt slag Dictionary of the Polish Language Samuel Bogumil Linde (publicerad 1807-1814) läser vi:

matematiker, matematisk matematiker, matematisk jonglör.

Vi känner inte till de enklaste handlingar, och vi vill verkligen bevisa oss själva. För några år sedan skrev en journalist från Olsztyn en lång exposé om hur tillverkarna lurar oss. Till exempel: på en förpackning smör står det "fetthalt 85 procent" - är det 85 procent i en kub eller i ett kilo? Hela Polen kvittrade. Men bara smarta matematiklärare (det vill säga alla matematiklärare!) märkte ett fel i resonemangen från en av våra tidigare premiärministrar, Kazimir Martsinkevich, för många år sedan. Jag ska ändra siffrorna lite för att göra det lättare att se. Han sa ungefär så här: vi spenderade 150 miljoner zloty på vägbyggen och fick 50 miljoner från Bryssel, så vi kommer bara att spendera 100. Vi sparade 50 procent. Tja, 50/100 är 50 procent. Var är felet? Och om vi hade 100 miljoner, hur mycket skulle vi spara? Misstaget är subtilt. På tal om procent så är det viktigt att klargöra var vi får dem ifrån. Detta är ett mycket vanligt misstag som lärare gör. De säger att en procentandel är en hundradel. Detta är inte tillåtet! Hundra procent, men det är alltid något. Om vi spenderar 150 och spenderar 100, sparar vi 50 av 150, vilket är 33%. Premiärminister Martsinkevich var fysiklärare. Antingen var han en så dålig lärare att han inte förstod procentsatser, eller så manipulerade han dem medvetet för att få bästa politiska effekt. Jag skulle faktiskt föredra det senare. Låt mig påminna dig om en mycket gammal anekdot från förkrigstiden. "Pappa, jag sparade 20 cent idag!" "Det är väldigt bra, son! Hur? "Jag åkte inte spårvagn till skolan, jag sprang efter den!" "Ah, son, spring för andra gången efter en taxi - du kommer att spara 5 zloty!"

Idéer, idéer! De flesta av idéerna med så kallad kreativ bokföring bygger på juridiska kryphål (lag skriven på knäet = skit) och avviker från begreppet genomsnitt. Här är ett exempel: hur kan allas löner höjas samtidigt som medellönen sänks? Enkelt: ge en liten löneförhöjning till dem som redan arbetar, och anställ på så sätt många underbetalda personer. Genomsnittet kommer att falla... och i samband med den globala lönekostnaden var det uteslutet. Enligt uppgift har en viss direktör för ett statligt företag fram till 1989 betett sig på detta sätt.

Du kan slåss direkt genom att använda den matematiska analfabetismen i många kretsar i samhället och kombinera matematik (??) med litteratur (??). Här är en demagogisk men fiktiv text (om än baserad på en riktig publikation, före 2010 för uppmärksamhet).

Sjuksköterskorna kommer att ha det bättre. För två år sedan var den genomsnittliga nettolönen för en sjuksköterska i Sochaczew county 1500 XNUMX PLN. Förra året ökade regeringen utgifterna för sjukvård med en halv miljard zloty. Det blir dubbelt så mycket som tidigare år. Hermenegilda Kotsiubynska, en sjuksköterska på Central Clinical Hospital, säger: förra månaden var min lön 4500 XNUMX PLN. Det innebär en enorm, trefaldig ökning av sjukvårdens intäkter.

Finns det någon att lura? Även om siffrorna är desamma kan du se vad vi jämför här. genomsnittslön på provinssjukhuset med lön för en person under en viss månad. Kanske är Hermenegilda chef för sjuksköterskorna, kanske har hon haft många extrapass denna månad, och dessutom har CRH en speciell löneskala? Vidare är de nämnda PLN 1500 500 500 nettolöner och det anges inte om Kociubinskas lön är netto eller brutto. En halv miljard är en enorm summa för en individ, men vad betyder det på nationell nivå? Vi noterar direkt att "en halv miljard" låter bättre propaganda än "500 miljoner". Vad XNUMX miljoner zloty gick till rapporteras inte. Det är inte känt varför XNUMX miljoner zł dubbelt så mycket.

Hur kan jag förbättra mina läranderesultat? Skola X kritiseras av utbildningsmyndigheter för dåliga utbildningsresultat (dvs en låg GPA, även om det är olika saker!). Rektorn hittar ett sätt att göra saker lite bättre. Han flyttar flera elever från klass A till klass B och uppnår sitt mål: medelpoängen i båda klasserna har ökat.

Hur är detta möjligt? Om det finns en elev i klass A vars GPA är lägre än genomsnittet i klass A, men högre än genomsnittet i klass C, kommer att flytta honom till klass B ha samma effekt. Tro bygger på denna effekt Mechislav Chuma i Leshek Mazan, författare till Galician Encyclopedia (Anabasis Publishing House, Krakow), att den dag då Sigismund III Vasa och hans hov flyttade till Warszawa, ökade den genomsnittliga intelligensnivån i båda dessa städer.

Vi tenderar att tolka data. Detta är den vanligaste icke-elementära sträckan. Jag börjar med det dummaste, men pålitliga exemplet. För många, många år sedan rapporterade det numera nedlagda Express Wieczorny att medellönen vid universitetet i Warszawa skulle vara 15000 24 6 złoty (då złoty). Rektorn var tänkt att få den högsta lönen, 15, den lägsta nybörjarassistenten, XNUMX. Genomsnitt XNUMX!!! manipulation begreppet medelvärde är ett ämne för habilitering.

Här är ytterligare två exempel. Vet du att en genomsnittlig person i Polen har mindre än två ben? Jo, ja: det finns de som har en, men ingen har tre! Det andra exemplet är mer subtilt. Jo, min fru och jag har våra egna bilar. Min vagn drar mycket bränsle, 12,5 liter per 100 km. Det betyder att för 100 km behöver jag 8 liter. Min fru har en liten Mitsubishi - den förbrukar 8 liter per 100 km. Detta är också mycket, men för att beräkningarna ska vara enkla behöver uppgifterna bearbetas lite. Vi rider ofta samma. Därför är den genomsnittliga bränsleförbrukningen för våra två bilar det aritmetiska medelvärdet på 8 och 12,5. Lägg ihop, dividera med 2. Det blir 10,25 liter. Självklart är det viktigt att vi ofta åker samma väg. Så var finns utrymmet för manipulation?

Åh, här. Visste du att USA:s bränsleförbrukning beräknas annorlunda? De kommer att svara: "Jag kör så många mil från en gallon." Låt oss lämna omvandlingen av gallon till liter och miles till kilometer, men tillämpa den på de tidigare nämnda bilarna: min och Our Marriage's Sole Review Board. Jag kommer bara köra 8 km per liter (100 dividerat med 12,5), min fru 12,5 km (100 dividerat med 8). I genomsnitt tar en liter oss ... det aritmetiska medelvärdet av dessa siffror. Vi har redan räknat ut detta en gång. Det visar sig 10 och en kvart – denna gång 10,25 kilometer.

Låt oss gå tillbaka till europeiska standarder. Om jag kör 10,25 km på en liter, hur många liter behöver du för 100? Låt oss ta en miniräknare: 100 dividerat med 10,25 är ... 9,76. Medelförbrukningen på våra bilar är 9,76 ... och innan dess var den 10,25. Var är felet? Nej! Egentligen inte i matematik, utan i tolkningen av orden "vi reser lika ofta". Noggrann analys kommer att visa att i den första tolkningen betyder detta "vi kör samma antal kilometer per månad", och i den andra "använder vi samma mängd bensin." En tredje variabel kan läggas till: vi spenderar lika mycket tid på att köra bil (hustrun kör mycket snabbare)... och det skulle vara annorlunda. Om vi mäter något måste vi ha ett måttband.

mer subtila situationer. Simpsons paradox. Vi utforskar vad som är bättre för att ta bort mjäll: Coca-Cola eller Pepsi-Cola. Vi testar på kvinnor och män. Här är uppgifterna. Nästan alla beräkningar kan göras i minnet.

Snälla, läsare, sätt dig ner. Bara för att inte falla ur känslan. Vilken är den bästa drycken för att ta bort mjäll hos män? Jag har markerat de större siffrorna i rött och de mindre med blått. 25 är mer än 20, eller hur? Herrar: köp Cola för mjäll! Hur är det med kvinnor? Förmodligen tvärtom? Nej, 60> 53. Damer, ta en Cola.

Företaget köper annonser på tv, där ett lyckligt par (på gammaldags vis: en man och en kvinna) blir av med denna milda åkomma med hjälp av Coca-Cola. Men det finns en Pepsi-annons. Jo, för att det var 250 personer på provet både här och här, vilket betyder att de var jämnt fördelade. Coca-Cola hjälpte 80 personer (32 %), Pepsi hjälpte 100 personer, 40 %. På skärmen tappar publiken sin mjäll medan en burk Pepsi rullar framför kameran. "Vår generation har redan valt!"

Var är felet? Nej. Jag menar, matematiken är bra. Eller snarare bara aritmetisk. För att vara matematiskt korrekt måste vi ta jämförbara prover med samma andel M som K. Annars är beräkningarna inte vettiga, som om vi skulle räkna ut medelvikten på en mygga och en elefant. Vi kan addera och dividera med två. Vad har vi räknat ut? Tja, medelvikten för en mygga och en elefant. Vad kommer det att ge oss? En tråd.

Men låt oss överföra det till politiken, till USA förstås. Anhängare till en av kandidaterna, säger Bump, skulle gråta: vi är bättre för både damer och herrar. Rösta på Jozef Podskok! Triden-supportrar skulle skriva på banderoller: Vi är bäst i världen. Rösta anka med 3 hålor (Donald).

Okej, hur är det egentligen? Det här är den svåraste delen. Vad betyder "egentligen"? Vi kan säga: "Sant är det som överensstämmer med verkligheten." Men en annan fråga uppstår: hur mäter man "överensstämmelse med verkligheten"? Men det här är inte längre matematik, och jag skulle vilja hålla mig till det, för bara här känner jag mig säker.

Om denna paradox (kallad Simpsons paradox) är baserad på många, många andra. Det har varit känt inom matematiken i hundra år, men (relativt) nyligen har samhällsvetenskapen intresserat sig för det. Allt började med att rektorn vid ett av de amerikanska universiteten märkte att flickor accepterades mycket mindre än pojkar. Hon bad om rapporter från dekanerna... och det visade sig att på varje fakultet var andelen antagna och kandidater högre för flickor än för pojkar - och tvärtom. Jag rekommenderar att läsaren omarbetar exemplet med Pepsi och Coca-Cola till situationen för universitetsavdelningar.

En ännu mer subtil situation. Alla i den matematiska världen känner till "Nebraska-exemplet". Någonstans i Nebraska genomsöktes en butik och en kassaapparat rånades. Vittnen mindes bara att detta gjordes av ett märkligt par: en mörkhyad man med skägg och en kvinna med orientaliska drag. De lämnade (däcken skriker som i filmen) i en gul Toyota. Några timmar senare grep polisen ... en gul Toyota, i vilken det fanns en afroamerikan med skägg, åtföljd av en asiatisk kvinna. "Det är du!". Handbojor, domstol. En erfaren matematiker räknade ut att en sådan uppsättning (negro + asiatisk + gul Toyota) är så unik att 99,999% av rånarna eftersöks. Han kastade memorerade termer i salen: elementära händelser, Bernoulli-diagram, konjunktion. Paret gick och satte sig. Men de anställde den bästa matematikern, som sa i en vädjan: "Bra. Döm själv, min föregångare räknade ut att sannolikheten för att en slumpmässigt påträffad bil med två passagerare ska vara en gul Toyota med en svart och en japansk kvinna är sådant och sådant. Men här måste vi lösa ett annat problem, den betingade sannolikheten. Vad är sannolikheten att träffa ett annat par (eller tre, om du slår på maskinen), om vi vet att ett sådant redan finns. »

Vi vet inte om domaren förstod något av argumenten. Kanske bara att svaret beror på valet av situationen. Det var nog. Han upphävde straffet.

Ett slag i huvudet med en stång. Vi har alltid behandlat sådan demagogi (1).

Barer är fruktansvärda: kolpriserna har fördubblats. Att titta på siffrorna är betryggande: de har verkligen stigit från 161 PLN per ton till 169 PLN (motion: med vilken procent?). Men eftersom de flesta lär sig visuellt kommer de att komma ihåg grafen, inte siffrorna. Utan att gå in i politiska diskussioner måste jag säga att en liknande metod användes av regeringen (den från sommaren 2020), och föreställer sig en ökning av utgifterna för cancer. Detta är inte en kritik mot denna regering. Nästa kommer också att använda denna metod. Det är säkert och ger omedelbar effekt ("sett").

Låt oss bära masker. Lagarna för spridning av epidemier är enkla och "i sig" obönhörliga. Antalet smittade växer snabbare, ju fler det redan finns. Så här går lavinen. Det är vad matematiken säger. Det finns dock ett stort "men" - kanske mer än ett. För det första är det så, medan "ingenting händer". När lavinen i skogen stoppas, när epidemin bromsas av oss allas kloka beteende, då kommer vi inte så mycket att "tacka" matematiken utan att skapa en annan modell. Ja, en annan matematisk modell (som i butiksrånexemplet i Nebraska). Matematik, en vacker vetenskap, hjälper bara att förstå världen. Så många, men bara så många. Låt oss se: vi hoppar nästan sex meter med en stav, utan den kan vi inte ens hoppa 2,50. Ta sedan staven i handen och hoppa. Han är en jäkla olägenhet, eller hur?

användningen av matematik i samhällsvetenskap det är svårt, farligt och ännu värre, frestande. Tatras finsmakare förknippar det med Drege-ravinen: en mjuk, gräsbevuxen nedstigning från Granater till Chyorny Stav ... Så här ser det ut från ovan. Snart förvandlas ravinen till en fälla från vilken endast TOPR, Tatra Volunteer Rescue Service, kan rädda oss.

Matematiker kallar denna ökning av laviner och epidemier exponentiell tillväxt. Som jag redan skrivit kan denna tillväxt undertryckas, men inte igen. Men låt oss titta på två plotter av samma kurva (bara på en annan skala). Vem kommer att förstå, jag ger formeln för denna funktion: y = 2^xtvå till makten. Titta gärna på diagrammen. Från vilken punkt sker den snabba accelerationen av tillväxten? Alla kommer att indikera: det är mer eller mindre nära den punkt som är markerad med en stor prick. Men på den första grafen är detta värde nära 1,5, på den andra är det mer än 3 och på den tredje är det 4,5. Om det finns någon form av gatudemonstrationer då, då kan vi säga: snälla, från och med demonstrationen gick kurvan uppåt, gick upp kraftigt. I matematikens ära! Och detta är bara en egenskap hos den exponentiella kurvan. Motsvarande skala och punkt från vilken snabb acceleration startar kan fritt väljas (2).

Presidentval ... i USA, förstås. Vi minns fortfarande farsen i november 2020. Landet, som fortfarande är makten nr 1, har inte klarat av sidräkningen. Till slut visade det sig att Joe Biden inte bara fick han fler elektorsröster, utan han skulle ha vunnit om beslutet hade fattats med enkel majoritet. I den situation som jag kommer att beskriva finns ingen matematisk manipulation – bara ett exempel på hur valresultatet kan bero på den antagna resolutionen. Om du vet är det svårt att protestera. En försvarare i fotboll kan anse att handbollsavstängningen är felaktig, men om det struntar i det kommer en straff att dömas ut.

Föreställ dig att följande kandiderar till presidentskapet i Grekland: Apollonius, Euklid, häger, Pythagoras i Sådana. Den som väljarna väljer blir president. Det finns 100. De valdes genom folkomröstning, och sedan fastställde de partier som var representerade i parlamentet, det vill säga Circus Maximus, ordningen för sina preferenser. Något är fel eftersom Circus Maximus är ett latinskt namn, inte ett grekiskt. Men låt oss inte argumentera med källorna.

Vem blir president? Låt oss se hur det beror på ordination. Partiets preferenser ska förstås så att dess väljare röstar på den första personen från listan som är kvar i valet efter nästa omgång.

Om domen slår fast att den kandidat som placerar flest väljare på första plats vinner, vinner Pythagoras, eftersom han kommer att väljas av 25 + 9 = 34 väljare. Det är vad som händer i skolan när vi väljer till exempel den bästa eleven. I vårt ställe: Pythagoras är vald av folket!
I moderna presidentval används oftast det andra omgångssystemet. Vi röstar på en kandidat, men om ingen av dem överstiger 50 procent hålls en andra omgång. Vinnaren är den som får den absoluta majoriteten av rösterna, det vill säga helt enkelt fler röster än sin motståndare. I det här scenariot går Pythagoras (34 röster) och Thales (20) till andra omgången. I den andra omgången fördelar väljarna sina röster efter sina preferenser. Alla utom pytagoreerna föredrar Thales framför Pythagoras. Det här är en vanlig situation där ett parti har en tuff väljarkår och omges av allmän motvilja. Så i tilläggstid kommer Pythagoras inte att få en enda röst. Resultat 66:34 till förmån för Thales och en avgörande seger. En liknande situation inträffade 2001 i Slovakien, där en kandidat som klart vann den första omgången förlorade i den andra. Det var liknande i presidentvalet i Polen 2005: ledaren besegrades i den andra efter den första omgången. Länge leve presidentens berättelser!
Inom cykling används det så kallade australiska systemet. Efter varje varv av banan elimineras den sista. Denna version av vallagen kallas "val av direktörer". Enligt detta system valdes den första presidenten i det oberoende Polen, Gabriel Narutowicz. Hur skulle det se ut i vårt Grekland?

Saken är mer komplicerad. Vänligen spåra. I första omgången fick Euclid minst röster och hoppade av (vad synd, så duktig matematiker!). Partiet röstar sedan i andra omgången för tvåan på sin lista: Tsaplya. I den andra omgången har Heron 19 + 10 = 29 röster. Apollonius är utslagen (17 röster). Party, och rösta sedan på Heron. I den tredje omgången har Pythagoras (fasta väljare) 34 röster, Thales 20 och Heron 29 + 17 = 46 röster. Berättelserna är ute. Falesierna (Part B) gillar inte heller pytagoreerna - de föredrar härolder. Andra också, förutom stallpartierna A och E. I sista sväng besegrar Heron Pythagoras enkelt med 66:34. Vivat President Heron!

4. Vid Eurovision Song Contest delades 12 poäng ut för förstaplatsen på listan, 10 för andraplatsen, 9 för tredjeplatsen och så vidare. Låt oss anta ungefär samma poäng 6-4-3-2-1. Så poäng delades ut i tre friidrottsmatcher (tre lag, två spelare i varje tävling, 1958 vann Polen mot USA och Storbritannien!). Våra resultat blir följande:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Greker, här är er president Euklid!

5. Läsarna gissar att vi bara behöver räkna rösterna så att det visar sig att Apollonius är bäst. Apollonius är verkligen bäst - för han är bäst. Alla förlorar mot Apollonius! Varför?

För hur många kurfurstar placerade Apollonius ovanför Heron? Låt oss räkna ut: 25+17+9=51 betyder majoritet. Inte mycket, men ändå.

Hur långt är Apollonius före Euklid? 20 + 19 + 17 = 56, de flesta.

Hur många föredrar Apollonius framför Thales: 19+17+10+9=55>50.

Slutligen föredrar Apollonius av Pythagoras 20 + 19 + 17 + 10 = 66 elektorer av 100.

Sedan dess - det grekiska folket, som kan tänka logiskt - sedan dess föredrar Apollonius mest av allt vilken annan kandidat som helst; det är trots allt han som ska styra oss till nästa mandatperiod! Kom närmare, Apollonius, vår tillträdande president! Du blir vår 44.