Geometriska stigar och snår

När jag skrev den här artikeln kom jag ihåg en mycket gammal sång av Jan Pietrzak, som han sjöng innan hans satiriska aktiviteter i Pod Egidą-kabarén, erkänd i den polska folkrepubliken som en säkerhetsventil; man kunde ärligt talat skratta åt systemets paradoxer. I den här låten rekommenderade författaren socialistiskt politiskt deltagande genom att förlöjliga dem som vill vara opolitiska och stänga av radion i tidningen. "Det är bättre att gå tillbaka till skolan och läsa", sjöng den då XNUMX-årige Pietrzak ironiskt.

Jag går tillbaka till skolan och läser. Jag läser om (inte för första gången) Shchepan Yelenskys (1881-1949) bok "Lylavati". För få läsare säger själva ordet något. Detta är namnet på dottern till den berömda hinduiska matematikern känd som Bhaskara (1114-1185), vid namn Akaria, eller den vise som gav sin bok om algebra titeln med det namnet. Lilavati blev senare en känd matematiker och filosof själv. Enligt andra källor var det hon som skrev boken själv.

Szczepan Yelensky gav samma titel till sin bok om matematik (första upplagan, 1926). Det kan till och med vara svårt att kalla den här boken för ett matematiskt verk – den var mer en uppsättning pussel, och till stor del omskriven från franska källor (upphovsrätt i modern mening fanns inte). Det var i alla fall under många år den enda populära polska boken om matematik – senare kom Jelenskys andra bok, Pythagoras sötsaker, till den. Så unga människor intresserade av matematik (vilket är precis vad jag en gång var) hade inget att välja på ...

å andra sidan måste "Lilavati" vara känd nästan utantill... Ah, det fanns tider... Deras största fördel var att jag var... tonåring då. Idag, från en välutbildad matematikers synvinkel, ser jag på Lilavati på ett helt annat sätt - kanske som en klättrare i kurvorna på stigen till Shpiglasova Pshelench. Varken det ena eller det andra förlorar sin charm ... I sin karakteristiska stil skriver Shchepan Yelensky, som bekänner sig till de så kallade nationella idéerna i sitt personliga liv, i förordet:

Utan att beröra beskrivningen av nationella egenskaper kommer jag att säga att även efter nittio år har Elenskys ord om matematik inte förlorat sin relevans. Matematik lär dig att tänka. Det är fakta. Kan vi lära dig att tänka annorlunda, enklare och vackrare? Kanske. Det är bara... vi kan fortfarande inte. Jag förklarar för mina elever som inte vill matte att det också är ett test på deras intelligens. Om du inte kan lära dig en riktigt enkel matematikteori, då...kanske är dina mentala förmågor sämre än vi båda skulle vilja...?

Tecken i sanden

Och här är den första berättelsen i "Lylavati" - en berättelse som beskrivs av den franske filosofen Joseph de Maistre (1753-1821).

En sjöman från ett havererat skepp kastades av vågorna på en tom strand, som han ansåg vara obebodd. Plötsligt, i kustsanden, såg han ett spår av en geometrisk figur ritad framför någon. Det var då han insåg att ön inte var öde!

Med hänvisning till de Mestri skriver Yelensky: geometrisk figurdet skulle ha varit ett tyst uttryck för det olyckliga skeppsbrutna sammanträffandet, men han visade honom vid första anblicken proportionen och antalet, och detta förebådade en upplyst man.” Så mycket för historien.

Observera att samma reaktion kommer att orsakas av en sjöman, till exempel genom att rita bokstaven K,... och alla andra spår av en persons närvaro. Geometri idealiseras här.

Astronomen Camille Flammarion (1847-1925) föreslog dock att civilisationer skulle hälsa på varandra på avstånd med hjälp av geometri. Han såg detta som det enda korrekta och möjliga försöket till kommunikation. Låt oss visa sådana marsianer Pythagoras trianglar... de kommer att svara oss med Thales, vi kommer att svara dem med Vieta-mönster, deras cirkel kommer att passa in i en triangel, och så har en vänskap börjat...

Författare som Jules Verne och Stanislaw Lem återvände till denna idé. Och 1972 placerades plattor med geometriska (och andra) mönster ombord på Pioneer-sonden, som fortfarande korsar rymden, nu nästan 140 astronomiska enheter från oss (1 I är jordens genomsnittliga avstånd från jorden) . Sol, dvs cirka 149 miljoner km). Kakelplattan utvecklades bland annat av astronomen Frank Drake, skaparen av den kontroversiella regeln om antalet utomjordiska civilisationer.

Geometrin är helt fantastisk. Vi känner alla till den allmänna synen på ursprunget till denna vetenskap. Vi (vi människor) har bara börjat mäta jorden (och sedan jorden) för de mest nyttiga syften. Att bestämma avstånd, rita raka linjer, markera räta vinklar och beräkna volymer blev efter hand en nödvändighet. Det är därifrån allt kommer geometri ("Mätning av jorden"), därav all matematik ...

Men under en tid grumlade denna tydliga bild av vetenskapens historia oss. För om matematik behövdes enbart för operativa ändamål, skulle vi inte vara engagerade i att bevisa enkla satser. "Du ser att detta i allmänhet borde vara sant", kommer alla att säga, efter att ha kontrollerat att summan av hypotenusernas kvadrater i flera räta trianglar är lika med hypotenusans kvadrat. Varför sådan formalism?

Plommonpaj ska vara god, datorprogrammet ska fungera, maskinen ska fungera. Om jag beräknat kapaciteten på fatet trettio gånger och allt är i sin ordning, varför annars?

Under tiden insåg de gamla grekerna att de behövde hitta några formella bevis.

Så, matematik börjar med Thales (625-547 f.Kr.). Man antar att det var Miletos som började undra varför. För smarta människor räcker det inte att de har sett något, att de är övertygade om något. De såg behovet av bevis, en logisk sekvens av argument från antagande till tes.

De ville också ha mer. Det var förmodligen Thales som först försökte förklara fysiska fenomen på ett naturalistiskt sätt, utan gudomlig inblandning. Den europeiska filosofin började med naturfilosofin – med det som redan står bakom fysiken (därav namnet: metafysik). Men grunden för europeisk ontologi och naturfilosofi lades av pytagoreerna (Pythagoras, ca 580-c. 500 f.Kr.).

Han grundade sin egen skola i Crotone på södra Apenninhalvön – idag skulle vi kalla det en sekt. Vetenskap (i dagens mening), mystik, religion och fantasi är alla nära sammanflätade. Thomas Mann presenterade mycket vackert matematiklektioner i en tysk gymnastiksal i romanen Doktor Faustus. Översatt av Maria Kuretskaya och Witold Virpsha lyder detta fragment:

I den intressanta boken av Charles Van Doren, "The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day", hittade jag en mycket intressant synvinkel. I ett av kapitlen beskriver författaren den pytagoreiska skolans betydelse. Själva kapitlets titel slog mig. Den lyder: "The Invention of Mathematics: The Pythagorans."

Vi diskuterar ofta om matematiska teorier upptäcks (som okända länder) eller uppfinns (som maskiner som aldrig funnits tidigare). Vissa kreativa matematiker betraktar sig själva som forskare, andra - uppfinnare eller designers, mindre ofta - räknare.

Men författaren till den här boken skriver om matematikens uppfinning i allmänhet.

Från överdrift till villfarelse

Efter denna långa inledande del går jag till början geometri, för att beskriva hur överdriven tro på geometri kan leda en vetenskapsman vilse. Johannes Kepler är känd inom fysik och astronomi som upptäckaren av himlakropparnas tre rörelselagar. Först rör sig varje planet i solsystemet runt solen i en elliptisk bana, med solen i ett fokus. För det andra, med jämna mellanrum ritar planetens ledande stråle, tagen från solen, lika fält. För det tredje är förhållandet mellan kvadraten av planetens omloppsperiod runt solen och kuben för dess halvstora axel (dvs det genomsnittliga avståndet från solen) konstant för alla planeter i solsystemet.

Detta kan ha varit den tredje lagen - det krävde mycket data och beräkningar att fastställa, vilket fick Kepler att fortsätta leta efter ett mönster i planeternas rörelse och position. Historien om hans nya "upptäckt" är mycket lärorik. Sedan urminnes tider har vi beundrat inte bara vanliga polyedrar, utan också resonemang som visar att det bara finns fem av dem i rymden. En tredimensionell polyeder kallas regelbunden om dess ytor är samma regelbundna polygoner och varje vertex har samma antal kanter. Illustrativt: varje hörn av en vanlig polyeder ska "se likadan ut". Den mest kända polyedern är kuben. Alla såg en vanlig fotled.

Den vanliga tetraedern är mindre känd, och i skolan kallas den för en vanlig triangulär pyramid. Det ser ut som en pyramid. De andra tre vanliga polyedrarna är mindre kända. En oktaeder bildas när vi kopplar samman mitten av kanterna på en kub. Dodekaedern och ikosaedern ser redan ut som bollar. Tillverkade av mjukt läder skulle de vara bekväma att gräva med. Resonemanget att det inte finns några vanliga polyedrar förutom de fem platonska soliderna är mycket bra. Först inser vi att om kroppen är regelbunden, så måste samma antal (låt q) av identiska regelbundna polygoner konvergera vid varje vertex, låt dessa vara p-vinklar. Nu måste vi komma ihåg vad vinkeln är i en vanlig polygon. Om någon inte kommer ihåg från skolan påminner vi dig om hur du hittar rätt mönster. Vi tog en tur runt hörnet. Vid varje vertex roterar vi med samma vinkel a. När vi går runt polygonen och återgår till startpunkten har vi gjort p sådana svängar, och totalt har vi vänt 360 grader.

Men α är 180 graders komplementet till vinkeln vi vill beräkna och är därför lika med

Vi har hittat vinkelformeln (en matematiker skulle säga: vinkelmått) för en vanlig polygon. Låt oss kontrollera: i triangeln p = 3 finns det inget a

Så här. När p = 4 (kvadrat), då

grader och det är också normalt.

Vad får vi för en femhörning? Så vad händer när det finns q polygoner, där varje p har samma vinklar

 grader, sjunker vid en vertex? Om det var på ett plan skulle det bildas en vinkel

grader och kan inte vara mer än 360 grader – för då överlappar polygonerna.

Men eftersom dessa polygoner möts i rymden måste vinkeln vara mindre än hela vinkeln.

Och här är ojämlikheten som allt detta följer av:

Låt oss dividera det med 180, multiplicera båda delarna med p, ordning (p-2) (q-2) < 4. Vad följer? Låt oss inse att p och q måste vara naturliga tal och att p > 2 (varför? Och vad är p?), och även q > 2. Det finns inte många möjligheter att göra produkten av två naturliga tal mindre än 4. Vi kommer att lista dem alla i tabell 1.

Jag lägger inte upp teckningar, alla kan se dessa figurer på Internet... På Internet... Jag kommer inte att vägra en lyrisk utvikning - kanske är det intressant för unga läsare. 1970 talade jag på ett seminarium. Ämnet var svårt. Jag hade lite tid att förbereda mig, jag satt på kvällarna. Huvudartikeln var skrivskyddad på plats. Stället var mysigt, med en arbetsatmosfär, ja, den stängde klockan sju. Sedan erbjöd sig bruden (nu min fru) själv att skriva om hela artikeln åt mig: ett dussintal utskrivna sidor. Jag kopierade den (nej, inte med fjäderpenna, vi hade till och med pennor), föreläsningen blev en succé. Idag försökte jag hitta denna publikation, som redan är gammal. Jag minns bara namnet på författaren... Sökningar på Internet varade länge... hela femton minuter. Jag tänker på det med ett leende och lite obefogat ånger.

Vi går tillbaka till Keplera och geometri. Tydligen förutspådde Platon existensen av den femte reguljära formen eftersom han saknade något förenande, som omfattar hela världen. Kanske var det därför han gav en lärjunge (Teajtet) i uppdrag att leta efter henne. Som det var, så var det, på grundval av vilken dodekaedern upptäcktes. Vi kallar denna platonisk attityd panteism. Alla vetenskapsmän, ända fram till Newton, dukade under för det i större eller mindre utsträckning. Sedan det mycket rationella sjuttonhundratalet har dess inflytande minskat radikalt, även om vi inte ska skämmas för att vi alla faller för det i en eller annan grad.

I det Keplerska konceptet att konstruera solsystemet var allt korrekt, experimentdatan sammanföll med teorin, teorin var logiskt harmonisk, mycket vacker... men helt falsk. På hans tid var bara sex planeter kända: Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter och Saturnus. Varför finns det bara sex planeter? - frågade Kepler. Och vilket mönster bestämmer deras avstånd från solen? Han antog att allt hängde ihop, det där geometri och kosmogoni är nära besläktade med varandra. Från de gamla grekernas skrifter visste han att det bara finns fem vanliga polyedrar. Han såg att mellan de sex banorna fanns fem tomrum. Så kanske var och en av dessa fria utrymmen motsvarar någon vanlig polyeder?

Efter flera år av observationer och teoretiskt arbete skapade han följande teori, med hjälp av vilken han ganska exakt beräknade dimensionerna på banorna, som han presenterade i boken "Mysterium Cosmographicum", publicerad 1596: Föreställ dig en gigantisk sfär, vars diameter är diametern på Merkurius bana i dess årliga rörelse runt solen. Föreställ dig sedan att det på denna sfär finns en vanlig oktaeder, på den en sfär, på den en icosahedron, på den igen en sfär, på den en dodekaeder, på den en annan sfär, på den en tetraeder, sedan igen på en sfär, en kub och slutligen på denna kub beskrivs bollen.

Kepler drog slutsatsen att diametrarna för dessa på varandra följande sfärer var diametrarna för banorna för andra planeter: Merkurius, Venus, Jorden, Mars, Jupiter och Saturnus. Teorin verkade vara mycket korrekt. Tyvärr sammanföll detta med experimentdata. Och vilket bättre bevis för riktigheten av en matematisk teori än dess överensstämmelse med experimentella data eller observationsdata, särskilt "tagen från himlen"? Jag sammanfattar dessa beräkningar i tabell 2. Så vad gjorde Kepler? Jag försökte och försökte tills det fungerade, det vill säga när konfigurationen (sfärernas ordning) och de resulterande beräkningarna sammanföll med observationsdata. Här är moderna Kepler-siffror och beräkningar:

Man kan ge efter för teorins charm och tro att det är mätningarna på himlen som är felaktiga, och inte beräkningarna som gjorts i verkstadens tystnad. Tyvärr vet vi idag att det finns minst nio planeter och att eventuella liknande resultat bara är en slump. En skam. Det var så vackert...