Dela på mitten - trianglar och kvadrater
Det nya året har kommit till oss, 2019. Det här är ingen enkel siffra. Summan av siffrorna är 2 + 0 + 1 + 9 = 12, vilket betyder att talet är delbart med 3. Du får vänta länge på ett primtal, till 2027. Ändå kommer väldigt få läsare av det här avsnittet att få se det tjugoandra århundradet. Men de är verkligen så här i den här världen, särskilt det vackra könet. Jag är avundsjuk? Inte riktigt... Men jag måste skriva om matematik. Den senaste tiden har jag skrivit mer och mer om grundskolan.
Är det möjligt att dela en cirkel i två lika stora halvor? Definitivt. Vad heter delarna du kommer att få? Ja, en halvcirkel. När man delar en cirkel med en linje (ett snitt), är det nödvändigt att dra en linje genom cirkelns mitt? Ja. Eller kanske det inte är nödvändigt? Kom ihåg att detta är ett snitt, en rak linje.
Är du övertygad om att alla en rät linje som går genom cirkelns mitt delar upp dem i lika delar? Är du övertygad om att för att dela en cirkel i lika delar av en rät linje måste du rita den genom mitten?
Motivera din tro. Och vad betyder "rättfärdiga"? Matematiskt bevis skiljer sig från "bevis" i juridisk mening. Advokaten måste övertyga domaren och därmed tvinga Högsta domstolen att finna att klienten är oskyldig. För mig har det alltid varit oacceptabelt: hur mycket den tilltalades öde beror på "papegojans" vältalighet (så här karaktäriserar vi advokaten lite nedsättande).
För en matematiker räcker det inte med enbart tro. Beviset måste vara formellt, och avhandlingen måste vara den sista formeln i den logiska följden från antagandet. Detta är ett ganska komplext koncept som är nästan omöjligt att implementera i vardagen.
Kanske är det bättre så här: stämningar och domar baserade på "matematisk logik" skulle helt enkelt vara ... själlösa. Tydligen händer detta allt oftare. Men jag vill bara åh.
Även formellt bevis på enkla saker kan vara svårt. Hur bevisar man båda dessa föreställningar om att dela en cirkel? Desto lättare är det i början varje rät linje som går genom mitten delar cirkeln i två lika delar.
Vi kan säga så här: låt oss rotera figuren i fig. 1 med 180 grader. Då blir det gröna fältet blått och det blåa fältet blir grönt. Därför måste de ha lika stora kvadrater. Om du drar en linje som inte går genom mitten, blir ett av fälten klart mindre.
Trianglar och kvadrater
Så låt oss fortsätta kvadrat. Har vi samma sak som:
- Delar varje rät linje som går genom mitten av kvadraten den i två lika delar?
- Om en rät linje delar en kvadrat i två lika delar, ska den gå genom kvadratens mitt?
Är vi övertygade om detta? Situationen är annorlunda än för hjul (2-7).
låt oss gå till liksidig triangel. Hur skär man den på mitten? Enkelt - bara trimma toppen och vinkelrätt mot basen (8).
Låt mig påminna dig om att basen av en triangel kan vara vilken som helst av dess sidor, även lutande. Snittet passerar genom mitten av triangeln. Delar varje linje som går genom mitten av en triangel den på mitten?
Nej! Se fig. 9. Var och en av de färgade trianglarna har samma area (varför?), så toppen av den stora triangeln har fyra och den nedre har fem. Fältförhållandet är inte 1:1, utan 4:5.
Tänk om vi delar upp basen i, säg, fyra delar och vi delar den liksidiga triangeln skära genom mitten och genom en punkt i fjärdedelen av basen? Läsare, ser du att i figur 10 är arean av den "turkosa" triangeln 9/20 av arean av hela triangeln? Du kan inte se? Det är synd, jag lämnar det här åt dig att lösa.
Första frågan - förklara hur det är: Jag delar upp basen i fyra lika delar, drar en rät linje genom delningspunkten och triangelns centrum, och på motsatt sida får jag en konstig division, i förhållandet 2: 3? Varför? kan du räkna ut det?
Eller kanske du, Reader, gick ut gymnasiet i år? Om ja, bestäm då vid vilken position av raderna fältförhållandet är minimalt? Du vet inte? Jag säger inte att du ska fixa det nu. Jag ger dig två timmar.
Om du inte löser det, då... ja, hur som helst, lycka till med dina GCSE. Jag återkommer till detta ämne.
Vakna upp självständighet
-Kan du bli förvånad? Detta är titeln på en bok som publicerades för länge sedan av tidningen Delta, en matematisk, fysisk och astronomisk månadstidning. Ta en titt på världen omkring dig. Varför finns det floder med sandbotten (trotts allt bör vattnet absorberas omedelbart!).
Varför svävar moln genom luften? Varför flyger planet? (bör falla omedelbart). Varför är det ibland varmare på toppen av bergen än i dalarna? Varför är solen i norr vid middagstid på södra halvklotet? Varför är summan av hypotenusornas kvadrater lika med hypotenusans kvadrat? Varför verkar en kropp gå ner i vikt när den är nedsänkt i vatten, eftersom den tränger undan vatten?
Frågor, frågor, frågor. Alla är inte direkt applicerbara i vardagen, men förr eller senare kommer de att vara det. Inser du vikten av den sista frågan (om vatten som förskjutits av en nedsänkt kropp)? Efter att ha insett detta sprang den äldre herren naken runt i staden och skrek: "Eureka, jag hittade den!" Han upptäckte inte bara en fysisk lag, utan bevisade också att King Herons juvelerare var en förfalskare!!! Se djupet av Internet för detaljer.
Låt oss nu titta på andra former.
hexagon (11-14). Delar varje rät linje som går genom dess centrum den på mitten? Ska linjen som halverar en hexagon gå genom dess centrum?
Vad sägs om femkant (15, 16)? Octagon (17)? Och för ellipser (18)?
En av bristerna med skolvetenskap är att vi undervisar på "nittonde århundradet" - vi ger eleverna ett problem och förväntar oss att de löser det. Vad är det för dåligt med det? Ingenting - förutom att vår student om några år inte bara måste svara på kommandon som han "fått" från någon, utan också se problem, formulera uppgifter, navigera i ett område där ingen ännu har nått.
Jag är så gammal att jag drömmer om sådan stabilitet: "Studera, John, gör skor, och du kommer att arbeta som skomakare för resten av ditt liv." Utbildning som en övergång till en högre kast. Intresse för resten av ditt liv.
Men jag är så ”modern” att jag vet att jag måste förbereda mina elever för yrken som... inte finns ännu. Det bästa jag kan och kommer att göra är att visa eleverna: KOMMER DU FÖRÄNDRA DIG? Även på grundnivå i matematik.
Se även:
